Was ist eine Gruppe? SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen
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==Halbgruppe== | ==Halbgruppe== | ||
− | Eine nichtleere Menge <math>H</math> auf der eine Verknüpfung <math>\odot</math> definiert ist, heißt Halbgruppe, wenn <math>\odot</math> abgeschlossen auf H und assoziativ ist. | + | Eine nichtleere Menge <math>H</math> auf der eine Verknüpfung <math>\odot</math> definiert ist, heißt Halbgruppe, wenn <math>\odot</math> abgeschlossen auf <math>H</math> und assoziativ ist. |
+ | ==Monoid== | ||
+ | Eine Halbgruppe mit Einselement heißt Monoid. | ||
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== Das Linkseinslement ist auch Rechtseinslement== | == Das Linkseinslement ist auch Rechtseinslement== | ||
Die lange Version der Gruppendefinition fordert, dass wenn das Einselement <math>e</math> sowohl rechtsseitig als auch linksseitig multipliziert mit einem beliebigen Gruppenelement <math>a</math> multipliziert eben dieses Element <math>a</math> das Ergebnis dieser Multiplikation ist. Die kurze Version der Gruppendefinition fordert nur die Existenz eines linksseitigen Einslementes. In der Tat ist die Korrektheit der Gruppendefinition gewährleistet, wenn die Existenz des Einselementes nur linksseitig (oder rechtsseitig) gefordert wird. | Die lange Version der Gruppendefinition fordert, dass wenn das Einselement <math>e</math> sowohl rechtsseitig als auch linksseitig multipliziert mit einem beliebigen Gruppenelement <math>a</math> multipliziert eben dieses Element <math>a</math> das Ergebnis dieser Multiplikation ist. Die kurze Version der Gruppendefinition fordert nur die Existenz eines linksseitigen Einslementes. In der Tat ist die Korrektheit der Gruppendefinition gewährleistet, wenn die Existenz des Einselementes nur linksseitig (oder rechtsseitig) gefordert wird. |
Version vom 2. Mai 2017, 11:40 Uhr
Beispiele für Gruppenendliche GruppenDie Gruppe der Deckabbildungen des RechtecksDie Gruppe der Deckabbildungen der Rauteunendliche GruppenGebrochene Zahlen:Ganze Zahlen:Gegenbeispiele für GruppenGruppendefinitionenDie "übliche" Gruppendefinition (lange Version)Definition 1a: (Gruppe Langfassung) Es sei eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung .
Die "übliche" Gruppendefinition (kurze Version)Definition 1b: (Gruppe, Kurzfassung) Es sei eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung .
HalbgruppeEine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung definiert ist, heißt Halbgruppe, wenn abgeschlossen auf und assoziativ ist. MonoidEine Halbgruppe mit Einselement heißt Monoid. Das Linkseinslement ist auch RechtseinslementDie lange Version der Gruppendefinition fordert, dass wenn das Einselement sowohl rechtsseitig als auch linksseitig multipliziert mit einem beliebigen Gruppenelement multipliziert eben dieses Element das Ergebnis dieser Multiplikation ist. Die kurze Version der Gruppendefinition fordert nur die Existenz eines linksseitigen Einslementes. In der Tat ist die Korrektheit der Gruppendefinition gewährleistet, wenn die Existenz des Einselementes nur linksseitig (oder rechtsseitig) gefordert wird.
Gleiches gilt für die Forderung nach der Existenz linksseitiger bzw. rechtsseitiger inverser Elemente. Satz 1
Beweis von Satz 1Übungsaufgabe, Hinweise
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