Was ist eine Gruppe? SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen
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# Ersetzen Sie <math>e</math> durch das Produkt des Linksinversen vom Linksinversen von <math>g</math> mit dem Linksinversen von <math>g</math>: <math>(g^{-1})^{-1} \odot g^{-1}</math>. | # Ersetzen Sie <math>e</math> durch das Produkt des Linksinversen vom Linksinversen von <math>g</math> mit dem Linksinversen von <math>g</math>: <math>(g^{-1})^{-1} \odot g^{-1}</math>. | ||
# Der Rest ist geschicktes Klammern und Ausnutzung der Assoziativität... | # Der Rest ist geschicktes Klammern und Ausnutzung der Assoziativität... | ||
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+ | '''Beweis:''' | ||
+ | ------ | ||
+ | Es sei <math>g^{-1}</math> das Linksinverse von <math>g</math>.<br /> | ||
+ | |||
+ | Wir muliplizieren <math>g^{-1}</math> von rechts mit <math>g</math>:<br /> | ||
+ | (I) <math>g \cdot g^{-1}</math><br /> | ||
+ | (II) <math>g \cdot g^{-1}= e \cdot g \cdot g^{-1}</math><br /> | ||
+ | Wissen: Auch <math>g^{-1}</math> hat ein Linksinverses: <math>(g^{-1})^{-1}</math><br /> | ||
+ | Ersetzen <math>e</math> durch <math>(g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}</math><br /> | ||
+ | |||
+ | (III) <math>g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1} \cdot g \cdot g^{-1}</math><br /> | ||
+ | |||
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | ||
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[[Kategorie:Algebra]] | [[Kategorie:Algebra]] |
Version vom 15. Mai 2017, 11:50 Uhr
Beispiele für Gruppenendliche GruppenDie Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks
Die Gruppe der Deckabbildungen der Rauteunendliche Gruppen Gebrochene Zahlen:
Ganze Zahlen:
Gegenbeispiele für GruppenGruppendefinitionenDie "übliche" Gruppendefinition (lange Version)Definition 1a: (Gruppe Langfassung) Es sei
Die "übliche" Gruppendefinition (kurze Version)Definition 1b: (Gruppe, Kurzfassung) Es sei
Ordnung einer GruppeDefinition 2: (Gruppenordnung)
Kurzschreibweise: Wenn Ordnung einer GruppenelementsDefinition 3: (Ordung eines Gruppenelements) Es sei HalbgruppeDefinition 4: (Halbgruppe)
MonoidDefinition 5: (Monoid)
Das Linkseinslement ist auch RechtseinselementDie lange Version der Gruppendefinition fordert, dass wenn das Einselement Satz 1
Beweis von Satz 1Übungsaufgabe, Hinweise
Beweis: Es sei Wir muliplizieren (III) |