Strecken, Pfeile und Pfeilklassen SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen

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:: Zwei Pfeile <math>\overrightarrow{AB}</math> und <math>\overrightarrow{CD}</math> stehen in der Relation pfeilgleich zueinander, wenn <math>\overline{A,C,D,B}</math> ein Parallelogramm ist. In Zeichen: <math>\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{CD}</math>
 
:: Zwei Pfeile <math>\overrightarrow{AB}</math> und <math>\overrightarrow{CD}</math> stehen in der Relation pfeilgleich zueinander, wenn <math>\overline{A,C,D,B}</math> ein Parallelogramm ist. In Zeichen: <math>\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{CD}</math>
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::Die Relation Pfeilgleichheit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile.<br />
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Version vom 4. Juni 2017, 11:57 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Strecken

Definition

Definition: (Strecke \overline{AB})

Es seien A und B zwei beliebige Punkte. Unter der Strecke \overline{AB} versteht man die folgende Punktmenge: \overline{AB}:=\{P|\operatorname{Zw}(A,P,C)\}\cup\{A,B\}.

Bemerkung

Im Gegensatz zur Definition des Begriffs Strecke in der Einführung in die Geometrie lassen wir hier zu, dass die Punkte A und B identisch sind. Der Grund hierfür liegt in der Notwendigkeit der Existenz des Nullvektors im Vektorraum der Pfeilklassen.

gerichtete Strecken bzw Pfeile

Definition: (gerichtete Strecke \overrightarrow{AB})

Es sei \overline{AB} eine Strecke. Wir fassen die Endpunkte zu einem geordneten Paar zusammen (A,B) und nennen A Anfangspunkt und B Endpunkt. Die gerichtete Strecke \overrightarrow{AB} bzw.der Pfeil \overrightarrow{AB} ist eine Strecke mit einem Anfangs und einem Endpunkt.

Pfeilklassen

Definition: (Pfeilgleichheit)

Zwei Pfeile \overrightarrow{AB} und \overrightarrow{CD} stehen in der Relation pfeilgleich zueinander, wenn \overline{A,C,D,B} ein Parallelogramm ist. In Zeichen: \overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{CD}

Satz: (Pfeilgleichheit ist ÄR)

Die Relation Pfeilgleichheit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile.

Beweis: Übungsaufgabe

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