Strecken, Pfeile und Pfeilklassen SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen
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− | + | :Die Struktur <math>\left[\overrightarrow{\mathbb{P}}, \oplus\right]</math> ist eine abelsche Gruppe:<br /> | |
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# Abgeschlossenheit: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}</math> | # Abgeschlossenheit: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}</math> | ||
# Assoziativität: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \in \overrightarrow{\mathbb{P}} :( \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b}) \oplus \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \oplus ( \overrightarrow{b} \oplus \overrightarrow{c})</math> | # Assoziativität: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \in \overrightarrow{\mathbb{P}} :( \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b}) \oplus \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \oplus ( \overrightarrow{b} \oplus \overrightarrow{c})</math> | ||
# Neutrales Element: <math>\forall \overrightarrow{a} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{o} \oplus \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{o} = \overrightarrow{a}</math> | # Neutrales Element: <math>\forall \overrightarrow{a} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{o} \oplus \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{o} = \overrightarrow{a}</math> | ||
+ | # Inverse Elemente: <math>\forall \overrightarrow{a} \in \overrightarrow{\mathbb{P}} \exists -\overrightarrow{a}: \overrightarrow{a} \oplus -\overrightarrow{a} = \overrightarrow{o} </math> | ||
+ | # Kommutativität: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \oplus \overrightarrow{a}</math>. | ||
+ | Beweis: Übungsaufgabe | ||
+ | =Vervielfachen einer Pfeilklasse mit einer reellen Zahl in der Ebene= | ||
+ | '''Definition''': (Koordinatenkreuz) | ||
+ | ::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Geraden mit <math>a \perp b</math> und dem gemeinsamen Schnittpunkt <math>O</math>. Das geordnete Tripel <math>(a,b,O)</math> heißt Koordinatenkreuz mit dem Ursprung <math>O</math>.<br /><br /> | ||
+ | |||
+ | Für die folgenden Überlegungen sei ein Koordinatenkreuz <math>(a,b,O)</math> beliebig aber fest ausgezeichnet. | ||
+ | '''Definition''': (Komponenten einer Pfeilklasse <math>\overrightarrow{a}</math>) | ||
+ | ::Es sei <math>\overrightarrow{a}</math> eine Pfeilklasse mit dem Repräsentanten <math>\overrightarrow{OP}</math>. Es sei | ||
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<!--- hier drunter nichts eintragen ---> | <!--- hier drunter nichts eintragen ---> |
Aktuelle Version vom 4. Juni 2017, 14:04 Uhr
StreckenDefinitionDefinition: (Strecke
BemerkungIm Gegensatz zur Definition des Begriffs Strecke in der Einführung in die Geometrie lassen wir hier zu, dass die Punkte gerichtete Strecken bzw PfeileDefinition: (gerichtete Strecke
PfeilklassenDefinition: (Pfeilgleichheit)
Satz: (Pfeilgleichheit ist ÄR)
Beweis: Übungsaufgabe Definition: (Pfeilklasse)
Hinweis: Jede Pfeilklasse ist durch Angabe eines ihrer Repräsentanten eindeutig bestimmt. Ob wir mit Addition von PfeilklassenDefinition: (Addition von Pfeilklassen)
Satz: (Wohldefiniertheit der Operation
Beweis : ÜA Die Pfeilklasse
Definition: (
Die Gruppe der PfeilklassenSatz:: (Gruppe der Pfeilklassen)
Beweis: Übungsaufgabe Vervielfachen einer Pfeilklasse mit einer reellen Zahl in der EbeneDefinition: (Koordinatenkreuz)
Für die folgenden Überlegungen sei ein Koordinatenkreuz
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