Isomorphie und Homomorphie von Gruppen SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen

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*<math>D_{180}</math> verhält sich in Tafel 1 wie <math>\overline{2}</math> in Tafel 2 bzw. wie <math>b</math> ind Tafel 3
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===<math>\left[\mathbb{Z}, +\right]</math> und <math>\left[2\mathbb{Z}, +\right]</math>===
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Die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der geraden ganzen Zahlen sind gleichmächtig zueinander: Die Abbildung <math>\varphi</math> mit <math>\varphi (z)= 2z, \forall z \in \mathbb{Z}</math> ordnet jeder ganzen Zahl genau eine gerade ganze Zahl zu. Umgekehrt bildet <math>\varphi^{-1}</math> mit <math>\varphi^{-1}(z)=\frac{z}{2}</math> jeder geraden ganzen Zahl ihr Urbild bei <math>\varphi</math> zu. <math>\varphi</math> ist eine 1-1-Abbildung von der Menge der ganzen Zahlen auf die Mange der geraden ganzen Zahlen. 1-1-Abbildungen von-auf werden auch Bijektionen genannt.
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Alle Gruppen der Ordnung 3 sind isomorph zueinander.<br />
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Aktuelle Version vom 13. Juni 2017, 10:06 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Isomorphie von Gruppen

Beispiele

Deckdrehungen des Quadrates und [\mathbb{Z}_4,\oplus]

Wir betrachten die folgenden beiden Gruppen:

  1. [D_4,\odot] mit D_4= \left \{id, D_{90}, D_{180}, D_{270} \right \} und \odot ist die NAF von Abbildungen.
  2. [\mathbb{Z}_4,\oplus]

Die beiden Gruppentafeln sehen wie folgt aus:

Tafel 1

\odot id D_{90} D_{180} D_{270}
id id D_{90} D_{180} D_{270}
D_{90} D_{90} D_{180} D_{270} id
D_{180} D_{180} D_{270} id D_{90}
D_{270} D_{270} id D_{90} D_{180}


Tafel 2

\oplus \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3}
\overline{0} \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3}
\overline{1} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{0}
\overline{2} \overline{2} \overline{3} \overline{0} \overline{1}
\overline{3} \overline{3} \overline{0} \overline{1} \overline{2}


Beide Gruppentafeln weisen vom Prinzip her dieselbe Struktur auf:

Tafel 3

\otimes e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b


wobei sich folgender Zusammenhang ergibt:

  • id verhält sich in Tafel 1 wie \overline{0} in Tafel 2 bzw. wie e ind Tafel 3
  • D_{90} verhält sich in Tafel 1 wie \overline{1} in Tafel 2 bzw. wie a ind Tafel 3
  • D_{180} verhält sich in Tafel 1 wie \overline{2} in Tafel 2 bzw. wie b ind Tafel 3
  • D_{270} verhält sich in Tafel 1 wie \overline{3} in Tafel 2 bzw. wie c ind Tafel 3


\left[\mathbb{Z}, +\right] und \left[2\mathbb{Z}, +\right]

Die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der geraden ganzen Zahlen sind gleichmächtig zueinander: Die Abbildung \varphi mit \varphi (z)= 2z, \forall z \in \mathbb{Z} ordnet jeder ganzen Zahl genau eine gerade ganze Zahl zu. Umgekehrt bildet \varphi^{-1} mit \varphi^{-1}(z)=\frac{z}{2} jeder geraden ganzen Zahl ihr Urbild bei \varphi zu. \varphi ist eine 1-1-Abbildung von der Menge der ganzen Zahlen auf die Mange der geraden ganzen Zahlen. 1-1-Abbildungen von-auf werden auch Bijektionen genannt.

Beispiel 3

Alle Gruppen der Ordnung 3 sind isomorph zueinander.
Beweis: Übungsaufgabe

* e a b
e e a b
a a b e
b b e a
\oplus \overline{0} \overline{1} \overline{2}
\overline{0} \overline{0} \overline{1} \overline{2}
\overline{1} \overline{1} \overline{2} \overline{0}
\overline{2} \overline{2} \overline{0} \overline{1}


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