Isomorphie von Gruppen
Beispiele
Deckdrehungen des Quadrates und ![[\mathbb{Z}_4,\oplus]](/images/math/8/0/9/809eadba6a0a17ba00b6356273a6aade.png)
Wir betrachten die folgenden beiden Gruppen:
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mit und ist die NAF von Abbildungen.
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![[\mathbb{Z}_4,\oplus]](/images/math/8/0/9/809eadba6a0a17ba00b6356273a6aade.png)
Die beiden Gruppentafeln sehen wie folgt aus:
Tafel 1
Tafel 2
Beide Gruppentafeln weisen vom Prinzip her dieselbe Struktur auf:
Tafel 3
wobei sich folgender Zusammenhang ergibt:
verhält sich in Tafel 1 wie in Tafel 2 bzw. wie ind Tafel 3
verhält sich in Tafel 1 wie in Tafel 2 bzw. wie ind Tafel 3
verhält sich in Tafel 1 wie in Tafel 2 bzw. wie ind Tafel 3
verhält sich in Tafel 1 wie in Tafel 2 bzw. wie ind Tafel 3
und ![\left[2\mathbb{Z}, +\right]](/images/math/f/0/c/f0c30bf1ac80cd9a41480676290bea79.png)
Die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der geraden ganzen Zahlen sind gleichmächtig zueinander: Die Abbildung mit ordnet jeder ganzen Zahl genau eine gerade ganze Zahl zu. Umgekehrt bildet mit jeder geraden ganzen Zahl ihr Urbild bei zu. ist eine 1-1-Abbildung von der Menge der ganzen Zahlen auf die Mange der geraden ganzen Zahlen. 1-1-Abbildungen von-auf werden auch Bijektionen genannt.
Beispiel 3
Alle Gruppen der Ordnung 3 sind isomorph zueinander.
Beweis: Übungsaufgabe
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