Isomorphie und Homomorphie von Gruppen SoSe 2017

Isomorphie von Gruppen Beispiele Deckdrehungen des Quadrates und $[\mathbb{Z}_4,\oplus]$ Wir betrachten die folgenden beiden Gruppen: $[D_4,\odot]$ mit $D_4= \left \{id, D_{90}, D_{180}, D_{270} \right \}$ und $\odot$ ist die NAF von Abbildungen. $[\mathbb{Z}_4,\oplus]$ Die beiden Gruppentafeln sehen wie folgt aus: Tafel 1 $\odot$ $id$ $D_{90}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $id$ $id$ $D_{90}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $D_{90}$ $D_{90}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $id$ $D_{180}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $id$ $D_{90}$ $D_{270}$ $D_{270}$ $id$ $D_{90}$ $D_{180}$ Tafel 2 $\oplus$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{1}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{3}$ $\overline{3}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ Beide Gruppentafeln weisen vom Prinzip her dieselbe Struktur auf: Tafel 3 $\otimes$ $e$ $a$ $b$ $c$ $e$ $e$ $a$ $b$ $c$ $a$ $a$ $b$ $c$ $e$ $b$ $b$ $c$ $e$ $a$ $c$ $c$ $e$ $a$ $b$ wobei sich folgender Zusammenhang ergibt: $id$ verhält sich in Tafel 1 wie $\overline{0}$ in Tafel 2 bzw. wie $e$ ind Tafel 3 $D_{90}$ verhält sich in Tafel 1 wie $\overline{1}$ in Tafel 2 bzw. wie $a$ ind Tafel 3 $D_{180}$ verhält sich in Tafel 1 wie $\overline{2}$ in Tafel 2 bzw. wie $b$ ind Tafel 3 $D_{270}$ verhält sich in Tafel 1 wie $\overline{3}$ in Tafel 2 bzw. wie $c$ ind Tafel 3 $\left[\mathbb{Z}, +\right]$ und $\left[2\mathbb{Z}, +\right]$ Die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der geraden ganzen Zahlen sind gleichmächtig zueinander: Die Abbildung $\varphi$ mit $\varphi (z)= 2z, \forall z \in \mathbb{Z}$ ordnet jeder ganzen Zahl genau eine gerade ganze Zahl zu. Umgekehrt bildet $\varphi^{-1}$ mit $\varphi^{-1}(z)=\frac{z}{2}$ jeder geraden ganzen Zahl ihr Urbild bei $\varphi$ zu. $\varphi$ ist eine 1-1-Abbildung von der Menge der ganzen Zahlen auf die Mange der geraden ganzen Zahlen. 1-1-Abbildungen von-auf werden auch Bijektionen genannt. Beispiel 3 Alle Gruppen der Ordnung 3 sind isomorph zueinander. Beweis: Übungsaufgabe * e a b e e a b a a b e b b e a $\oplus$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{1}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{2}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$