Lösung von Aufgabe 12.4: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt \ P auf eine Gerade \ g. | + | Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt <math>\ P</math> auf eine Gerade <math>\ g</math>. |
==== Existenz ==== | ==== Existenz ==== | ||
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<br />Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>, Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math> | <br />Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>, Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math> | ||
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<br />Behauptung: Es existiert genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. | <br />Behauptung: Es existiert genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. | ||
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<br />Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. | <br />Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. | ||
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Version vom 13. Juli 2010, 00:19 Uhr
Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt 
auf eine Gerade 
.
Existenz
Eindeutigkeit
Voraussetzung: Gerade , Punkt 
, Lot 
von auf mit Lotfußpunkt 
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von auf .
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von auf .
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt 
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (I) | Es existiert ein Dreieck 
|
VSS,  , Punkte  sind nicht kollinear
|
| (II) | 
|
VSS, ist Lotfußpunkt
|
| (III) | 
|
VSS, ist Lotfußpunkt
|
| (IV) | Außenwinkel von
|
Supplementaxiom |
| (V) |  Außenwinkel von 
|
Schwacher Außenwinkelsatz |
| (VI) | Annahme muss verworfen werden | Widerspruch zwischen (V) und (III) !!! |
