Lösung von Aufgabe 12.10: Unterschied zwischen den Versionen

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VSS: Gerade <math> a,b,c </math>, <math> a \ | b </math>, <math> c </math> schneidet <math> a </math> und <math> b </math><br />
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VSS: Gerade <math> a,b,c </math>, <math> a \| b </math>, <math> c </math> schneidet <math> a </math> und <math> b </math><br />
 
Beh: <math> \alpha ,  \beta </math> sind Stufenwinkel, oBdA: <math> \alpha \cong \beta </math><br />
 
Beh: <math> \alpha ,  \beta </math> sind Stufenwinkel, oBdA: <math> \alpha \cong \beta </math><br />
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ANN: <math> \beta </math> > <math> \alpha </math><br />
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ANN: <math>| \beta |</math> > <math>| \alpha | </math><br />
  
 
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| <math>| \alpha | </math> im Scheitelpunkt von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha  </math> abtragen, es entsteht der Winkel <math>{\alpha^{'}}</math>
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| <math>| \alpha | </math> im Scheitelpunkt S von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha  </math> abtragen, es entsteht der Strahl <math>{SP^{+}}</math> mit dem Winkelmaß <math>|{\alpha^{'}}|</math>
 
| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)
 
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| es existiert ein Punkt <math> Q \in E</math>, Q nicht Element g
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| (I), (Def. Stufenwinkel)
 
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| es existiert ein Punkt <math> C\in gQ^{+}: | \angle PB^{+},PC^{+}| = 90 </math>  
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| Winkelkonstruktionsaxiom, (I), (II)
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| (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (I), (II)
 
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| es exisitiert genau eine Gerade <math> s </math> durch <math> C </math> und <math> P </math>, senkrecht auf <math> g </math>  
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| <math> a \| SP </math> und <math> a \| b </math>
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| Axiom I.1, (II)
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| (VSS), (III)
 
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--> Widerspruch zum euklidischen Parallelenaxiom. (höchstens eine Gerade parallel durch einen Punkt P...)
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--> ANN falsch, Beh. wahr <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:27, 14. Jul. 2010 (UTC)

Version vom 14. Juli 2010, 12:27 Uhr

Beweis des Stufenwinkelsatzes:

Es seien a und b zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent.


Lösung 1

VSS: Gerade a,b,c , a \| b , c schneidet a und b
Beh: \alpha , \beta sind Stufenwinkel, oBdA: \alpha \cong \beta
ANN: | \beta | > | \alpha |

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) | \alpha | im Scheitelpunkt S von \beta in der gleichen Halbebene bzgl \alpha abtragen, es entsteht der Strahl {SP^{+}} mit dem Winkelmaß |{\alpha^{'}}| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)
(II) \alpha \cong {\alpha^{'}} (I), (Def. Stufenwinkel)
(III) a \| SP (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (I), (II)
(IV) a \| SP und a \| b (VSS), (III)

--> Widerspruch zum euklidischen Parallelenaxiom. (höchstens eine Gerade parallel durch einen Punkt P...) --> ANN falsch, Beh. wahr
--Löwenzahn 11:27, 14. Jul. 2010 (UTC)

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