Lösung von Aufgabe 12.10

Beweis des Stufenwinkelsatzes:

Es seien a und b zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent.

Lösung 1

VSS: Gerade $\ a,b,c$, $\ a \| b$, $\ c$ schneidet $\ a$ und $\ b$
Beh: $\ \alpha , \beta$ sind Stufenwinkel, oBdA: $\alpha \cong \beta$
ANN: $\ |\beta| > |\alpha|$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	das Maß $\ |\alpha|$ im Scheitelpunkt $\ S$ von $\ \beta$ in der gleichen Halbebene bzgl $\ \alpha$ abtragen, es entsteht der Strahl $\ {SP^{+}}$ der mit dem Schenkel auf $\ c$ einen Winkel mit dem Winkelmaß $\ |\alpha'|$ bildet	(Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)
(II)	$\alpha \cong \alpha'$, es sind Stufenwinkel	(I), (Def. Stufenwinkel)
(III)	$a \| SP$	(Umkehrung Stufenwinkelsatz), (I), (II)
(IV)	$a \| SP$ und $a \| b$ mit $S \in SP$ und $S \in b$	(VSS), (III)

--> Widerspruch zum euklidischen Parallelenaxiom. (höchstens eine Gerade parallel durch einen Punkt P...)
--> ANN falsch, Beh. wahr
--Löwenzahn 11:27, 14. Jul. 2010 (UTC)