Version vom 25. November 2017, 14:23 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Eindeutigkeit des Einslementes
- 1.1 Satz 3
- 1.2 Beweis von Satz 3
2 Eindeutigkeit der inversen Elemente
- 2.1 Satz 4
- 2.2 Beweis von Satz 4
3 Kürzbarkeit
- 3.1 Satz 5
- 3.2 Beweis von Satz 5
4 Lösbarkeit der Gleichungen
- 4.1 Satz 6
- 4.2 Beweis von Satz 6
  - 4.2.1 Existenzbeweis
  - 4.2.2 Eindeutigkeitsbeweis

Eindeutigkeit des Einslementes

Satz 3

Jede Gruppe hat genau ein Einslement.

Beweis von Satz 3

Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat $[G, \odot]$ eine Einslement $e_1$ . Es bleibt zu zeigen, dass $[G, \odot]$ kein weiteres Einslement $e_2$ hat. Wir nehmen an es gibt $e_2$ mit $e_2 \neq e_1$ . Nach Satz 2 sind $e_1$ und $e_2$ von links und von rechts Einselemente. Wir gehen aus von der Gleichung $e_1 \odot e_2=e_1 \odot e_2$ . Aus dieser Gleichung folgt wegen der Einslement eigenschaft beider Elemente $e_1$ und $e_2$ (und das sowohl von rechts, wie auch von links) $e_1=e_2$ .

Eindeutigkeit der inversen Elemente

Satz 4

In jeder Gruppe $[G, \odot]$ gilt: Jedes Gruppenelement $g \in G$ hat genau ein inverses Element.

Beweis von Satz 4

Es sei $g \in G$ eine Gruppe mit dem Einslement $e$ . Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat $g$ in $G$ ein Inverses $g_1^{-1}$ bezüglich $\odot$ . Wir nehmen an, $g$ hat in $G$ ein weiteres Inverses $g_2^{-1}$ , das natürlich von $g_1^{-1}$ verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass $g_1^{-1}$ und $g_2^{-1}$ von links und von rechts invers zu $g$ bzgl. $\odot$ sind.

Die triviale Gleichung $(I) e=e$ "pumpen" wir zu $(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2{-1}$ auf.

$(II)$ multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit $g_1^{-1}$ und erhalten $(III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2{-1}$ .

$(III)$ verkürzt sich zu $g_1^{-1}=g_2^{-1}$ , was ein Widerspruch zu unserer Annahme $g_1^{-1} \neq g_2^{-1}$ ist.

Kürzbarkeit

Satz 5

Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe. Für alle Elemente $a, b, c \in G$ gilt:

$a\odot b = a \odot c \Rightarrow b=c$
$b \odot a= c \odot a \Rightarrow b=c$

Beweis von Satz 5

Jeweils von rechts bzw. links beide Seiten der Gleichung mit $a^{-1}$ multiplizieren.

Lösbarkeit der Gleichungen

Satz 6

In jeder Gruppe $[G, \odot]$ sind die Gleichungen

$a \odot x= b$ und
$y \odot a = b$

jeweils eindeutig lösbar.

Beweis von Satz 6

Wir führen den Beweis nur für die Gleichung $a \odot x= b$ , für die Gleichung $y \odot a = b$ wird der Beweis analog geführt.

Existenzbeweis

Wir setzen $x=a^{-1}\odot b$ : $a \odot (a^{-1}\odot b) = (a \odot a^{-1}) \odot b = e \odot b = b$ .

Eindeutigkeitsbeweis

Es seien $x_1$ und $x_2$ Lösungen der Gleichung $a \odot x= b$ . Damit folgt $a \odot x_1 = a \odot x_2$ . Nach Satz 5 gilt $x_1=x_2$

@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 # <math>y \odot a = b</math>
 jeweils eindeutig lösbar.
+==Beweis von Satz 6==
+Wir führen den Beweis nur für die Gleichung <math>a \odot x= b</math>, für die Gleichung <math>y \odot a = b</math> wird der Beweis analog geführt.<br />
+===Existenzbeweis===
+Wir setzen <math>x=a^{-1}\odot b</math>: <math>a \odot (a^{-1}\odot b) = (a \odot a^{-1}) \odot b = e \odot b = b</math>.
+===Eindeutigkeitsbeweis===
+Es seien <math>x_1</math> und <math>x_2</math> Lösungen der Gleichung <math>a \odot x= b</math>. Damit folgt <math>a \odot x_1 = a \odot x_2</math>. Nach Satz 5 gilt <math>x_1=x_2</math>
 <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->

Gruppendefinition (Gleichung): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 25. November 2017, 14:23 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Eindeutigkeit des Einslementes

Satz 3

Beweis von Satz 3

Eindeutigkeit der inversen Elemente

Satz 4

Beweis von Satz 4

Kürzbarkeit

Satz 5

Beweis von Satz 5

Lösbarkeit der Gleichungen

Satz 6

Beweis von Satz 6

Existenzbeweis

Eindeutigkeitsbeweis

Navigationsmenü

Meine Werkzeuge

Namensräume

Varianten

Ansichten

Aktionen

Suche

Navigation

Werkzeuge