Gruppendefinition (Gleichung)

Eindeutigkeit des Einslementes Satz 3 Jede Gruppe hat genau ein Einslement. Beweis von Satz 3 Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat $[G, \odot]$ eine Einslement $e_1$. Es bleibt zu zeigen, dass $[G, \odot]$ kein weiteres Einslement $e_2$ hat. Wir nehmen an es gibt $e_2$ mit $e_2 \neq e_1$. Nach Satz 2 sind $e_1$ und $e_2$ von links und von rechts Einselemente. Wir gehen aus von der Gleichung $e_1 \odot e_2=e_1 \odot e_2$. Aus dieser Gleichung folgt wegen der Einslement eigenschaft beider Elemente $e_1$ und $e_2$ (und das sowohl von rechts, wie auch von links) $e_1=e_2$. Eindeutigkeit der inversen Elemente Satz 4 In jeder Gruppe $[G, \odot]$ gilt: Jedes Gruppenelement $g \in G$ hat genau ein inverses Element. Beweis von Satz 4 Es sei $g \in G$ eine Gruppe mit dem Einslement $e$. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat $g$ in $G$ ein Inverses $g_1^{-1}$ bezüglich $\odot$. Wir nehmen an, $g$ hat in $G$ ein weiteres Inverses $g_2^{-1}$, das natürlich von $g_1^{-1}$ verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass $g_1^{-1}$ und $g_2^{-1}$ von links und von rechts invers zu $g$ bzgl. $\odot$ sind. Die triviale Gleichung $(I) e=e$ "pumpen" wir zu $(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2^{-1}$ auf. $(II)$ multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit $g_1^{-1}$ und erhalten $(III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2^{-1}$. $(III)$ verkürzt sich zu $g_1^{-1}=g_2^{-1}$, was ein Widerspruch zu unserer Annahme $g_1^{-1} \neq g_2^{-1}$ ist. Kürzbarkeit Satz 5 Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe. Für alle Elemente $a, b, c \in G$ gilt: $a\odot b = a \odot c \Rightarrow b=c$ $b \odot a= c \odot a \Rightarrow b=c$ Beweis von Satz 5 Jeweils von rechts bzw. links beide Seiten der Gleichung mit $a^{-1}$ multiplizieren. Lösbarkeit der Gleichungen Satz 6 In jeder Gruppe $[G, \odot]$ sind die Gleichungen $a \odot x= b$ und $y \odot a = b$ jeweils eindeutig lösbar. Beweis von Satz 6 Wir führen den Beweis nur für die Gleichung $a \odot x= b$, für die Gleichung $y \odot a = b$ wird der Beweis analog geführt. Existenzbeweis Zuerst formen wir $a\odot x=b$ um: $a\odot x=b$ $|\odot a^{-1}$ $a^{-1}\odot a \odot x = a^{-1} \odot b$ $e\odot x = a^{-1} \odot b$ $x = a^{-1} \odot b$ $x=a^{-1}\odot b$ setzen wir nun in $a\odot x=b$ ein und formen um: $a \odot (a^{-1}\odot b) = (a \odot a^{-1}) \odot b = e \odot b = b$. Eindeutigkeitsbeweis Es seien $x_1$ und $x_2$ Lösungen der Gleichung $a \odot x= b$. Damit folgt $a \odot x_1 = a \odot x_2$. Nach Satz 5 gilt $x_1=x_2$ Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind, ist eine Gruppe Satz 7 Es sei $[M, \odot]$ ein Monoid. $e$ sei das Einslement dieses Monoids. Wenn die Gleichungen $a \odot x = b$ und $y \odot a = b$ in $[M, \odot ]$lösbar sind, dann ist das Monoid sogar eine Gruppe. Beweis von Satz 7 Wir haben zu zeigen, dass zu jedem Element $a \in M$ ein Inverses in $M$ existiert. Wegen der Lösbarkeit der Gleichungen 1 und 2 sind auch die Gleichungen $a \odot x = e$ und $y \odot a = e$ lösbar. Daraus folgt, dass $x,y$ Inverse von $a$ sind, also $x=y=a^{-1}$ (nach Satz 4). Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition Die Sätze 6 und 7 erlauben, eine Gruppe als ein Monoid zu definieren, in dem die Gleichungen $a \odot x = b$ und $y \odot a = b$ lösbar sind.