Gruppendefinition (Gleichung): Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 25. November 2017, 15:55 Uhr

Inhaltsverzeichnis

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Eindeutigkeit des Einslementes

Satz 3

Jede Gruppe hat genau ein Einslement.

Beweis von Satz 3

Es sei [G, \odot] eine Gruppe. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat [G, \odot] eine Einslement e_1. Es bleibt zu zeigen, dass [G, \odot] kein weiteres Einslement e_2 hat. Wir nehmen an es gibt e_2 mit e_2 \neq e_1. Nach Satz 2 sind e_1 und e_2 von links und von rechts Einselemente. Wir gehen aus von der Gleichung e_1 \odot e_2=e_1 \odot e_2. Aus dieser Gleichung folgt wegen der Einslement eigenschaft beider Elemente e_1 und e_2 (und das sowohl von rechts, wie auch von links) e_1=e_2.

Eindeutigkeit der inversen Elemente

Satz 4

In jeder Gruppe [G, \odot] gilt: Jedes Gruppenelement g \in G hat genau ein inverses Element.

Beweis von Satz 4

Es sei g \in G eine Gruppe mit dem Einslement e. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat g in G ein Inverses g_1^{-1} bezüglich \odot. Wir nehmen an, g hat in G ein weiteres Inverses g_2^{-1}, das natürlich von g_1^{-1} verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass g_1^{-1} und g_2^{-1} von links und von rechts invers zu g bzgl. \odot sind.

Die triviale Gleichung (I) e=e "pumpen" wir zu (II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2{-1} auf.

(II) multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit g_1^{-1} und erhalten (III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2{-1}.

(III) verkürzt sich zu g_1^{-1}=g_2^{-1}, was ein Widerspruch zu unserer Annahme g_1^{-1} \neq g_2^{-1} ist.

Kürzbarkeit

Satz 5

Es sei [G, \odot] eine Gruppe. Für alle Elemente a, b, c \in G gilt:

  1. a\odot b = a \odot c \Rightarrow b=c
  2. b \odot a= c \odot a \Rightarrow b=c

Beweis von Satz 5

Jeweils von rechts bzw. links beide Seiten der Gleichung mit a^{-1} multiplizieren.

Lösbarkeit der Gleichungen

Satz 6

In jeder Gruppe [G, \odot] sind die Gleichungen

  1. a \odot x= b und
  2. y \odot a = b

jeweils eindeutig lösbar.

Beweis von Satz 6

Wir führen den Beweis nur für die Gleichung a \odot x= b, für die Gleichung y \odot a = b wird der Beweis analog geführt.

Existenzbeweis

Wir setzen x=a^{-1}\odot b: a \odot (a^{-1}\odot b) = (a \odot a^{-1}) \odot b = e \odot b = b.

Eindeutigkeitsbeweis

Es seien x_1 und x_2 Lösungen der Gleichung a \odot x= b. Damit folgt a \odot x_1 = a \odot x_2. Nach Satz 5 gilt x_1=x_2

Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind, ist eine Gruppe

Satz 7

Es sei [M, \odot] ein Monoid. e sei das Einslement dieses Monoids. Wenn die Gleichungen

  1. a \odot x = b und
  2. y \odot a = b

in [M, \odot ]lösbar sind, dann ist das Monoid sogar eine Gruppe.

Beweis von Satz 7

Wir haben zu zeigen, dass zu jedem Element a \in M ein Inverses in M existiert. Wegen der Lösbarkeit der Gleichungen 1 und 2 sind auch die Gleichungen

  • a \odot x = e und
  • y \odot a = e

lösbar.

Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition

Die Sätze 6 und 7 erlauben, eine Gruppe als ein Monoid zu definieren, in dem die Gleichungen

  1. a \odot x = b und
  2. y \odot a = b

lösbar sind.

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