Gruppenordnung, Ordnung eines Gruppenelements: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 26. November 2017, 18:16 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die Ordnung einer Gruppe

Definition (Gruppenordnung

Es sei [G, \odot] eine Gruppe. Unter der Ordnung |G| von [G, \odot] versteht man die Anzahl der Elemente der Menge G.

Beispiele

  • [\mathbb{Z}_5,\oplus]: |\mathbb{Z}_5|=5
  • [\mathbb{Z}_5,\odot]: |\mathbb{Z}_5|=4
  • [\mathbb{Q}, +] : |\mathbb{Q}|= \infty

Potenzschreibweisen in Gruppen

Aus der Schule bekannt

Potenzen sind aus der Schule bezüglich der Multiplikation reeller Zahlen bekannt:

  • 3 ^5 := 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243
  • 5^{-3}:=5^{-1} \cdot 5^{-1} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}= \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}=0,008
  • a^n := \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}, , a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}
  • a^{-n}:=\underbrace{a^{-1} \cdot a^{-1} \cdot \ldots \cdot a^{-1}}_{n-mal}= \frac{1}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}}, a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}

Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen

Beispiele

[\mathbb{Z}_5 , \oplus]

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