Gruppenordnung, Ordnung eines Gruppenelements

Die Ordnung einer Gruppe Definition (Gruppenordnung) Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe. Unter der Ordnung $|G|$ von $[G, \odot]$ versteht man die Anzahl der Elemente der Menge $G$. Beispiele $[\mathbb{Z}_5,\oplus]: |\mathbb{Z}_5|=5$ $[\mathbb{Z}_5,\odot]: |\mathbb{Z}_5|=4$ $[\mathbb{Q}, +] : |\mathbb{Q}|= \infty$ Potenzschreibweisen in Gruppen Aus der Schule bekannt Potenzen sind aus der Schule bezüglich der Multiplikation reeller Zahlen bekannt: $3 ^5 := 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$ $5^{-3}:=5^{-1} \cdot 5^{-1} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}= \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}=0,008$ $a^n := \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}, , a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$ $a^{-n}:=\underbrace{a^{-1} \cdot a^{-1} \cdot \ldots \cdot a^{-1}}_{n-mal}= \frac{1}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}}, a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$ Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen Beispiele Beispiel 1: $[\mathbb{Z}_5 , \oplus]$ $\overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}$ $\overline{2}^{-3}=\overline{3}^3=\overline{3} \oplus \overline{3} \oplus \overline{3} = \overline{3+3+3} = \overline{9} = \overline{4}$ Definition Potenz $g^z$ eines Gruppenelements für $z \in \mathbb{Z}, z \geq 0$ Es sei $[G, \oplus]$ eine Gruppe mit dem Neutralelement $n$. Für beliebige Elemente $g \in G$ und ganze Zahlen $z \geq 0$ definieren wir: $g^z:=n ~falls~ z=0$ $g^z:=g^{z-1}\oplus g ~ falls ~ z > 0$ Definition Potenz $g^z$ eines Gruppenelements für $z \in \mathbb{Z}, z < 0$ Es sei $[G, \oplus]$ eine Gruppe und $z \in \mathbb{Z}, z <0$. Ferner sei $g$ eine beliebiges Gruppenelement und $g^{-1}$ sein Inverses in $[G, \oplus]$. $g^z:=g^{-1} ~falls~ z=-1$ $g^z:=g^{z+1}\oplus g^{-1} ~ falls ~ z < -1$ Die Ordnung eines Gruppenelements Definition (Ordnung eines Gruppenelements) Es sei $[G,\odot ]$ eine Gruppe. Die Ordnung eines Elements $g\isin G$ ist die kleinste natürliche Zahl $n$ für die gilt: $g^{n}=e$