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| | *[[Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 2 SoSe 2018]] | | *[[Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 2 SoSe 2018]] |
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| − | =Aufgabe 1.1=
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| − | Unter der symmetrischen Gruppe <math>S_n</math> versteht man die Gruppe der Permutationen von <math>n</math> Elementen bezüglich der NAF von Permutationen.
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| − | Generieren Sie die Verknüpfungstabelle der <math>S_4</math>.
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| − | =Aufgabe 1.2=
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| − | Die symmetrische Gruppe <math>S_3</math> besteht aus 6 Permutationen. Interpretieren Sie die <math>S_3</math> als Deckabbildungsgruppe eines regelmäßigen n-Ecks.
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| − | =Aufgabe 1.3=
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| − | Unter <math>\mathbb{Z}/_5</math> verstehen wir alle Restklassen modulo <math>5</math>, d.h. in der Klasse <math>\overline{a}</math> liegen alle ganzen Zahlen die denselben Rest bei Division durch <math>5</math> wie die ganze Zahl <math>a</math> lassen. Die Addition <math>\oplus</math>zweier Restklassen <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> ist wie folgt definiert: <math>\overline{a} \oplus \overline{b} := \overline{a + b}</math>. Beweisen Sie:<br />
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| − | Die Restklassenaddition der Restklassen modulo <math>5</math> ist repräsentantenunabhängig, d.h. es gilt:<br />
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| − | <math>\overline{a_1}=\overline{a_2} \land \overline{b_1} = \overline{b_2} \Rightarrow \overline{a_1} \oplus \overline{b_1} = \overline{a_2} \oplus \overline{b_2}</math>
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| − | =Aufgabe 1.4=
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| − | Beweisen Sie, dass <math>[\mathbb{Z}/_5,\oplus]</math> eine Gruppe ist.
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| − | =Aufgabe 1.5=
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| − | Es sei <math>\mathbb{Z}_5\setminus\overline{0}</math> die Menge der Restklassen modulo <math>5</math> ohne die Klasse <math>\overline{0}</math>. Beweisen Sie, dass diese Menge von Restklassen bzgl. der Retsklassenmultiplikation eine Gruppe bildet.
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| − | =Aufgabe 1.6=
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| − | Es sei <math>[\mathbb{N},\cdot]</math> die Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null) zusammen mit der üblichen Multiplikation. Welche Gruppenaxiome sind in <math>[\mathbb{N},\cdot]</math> erfüllt und welche nicht?
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| − | =Aufgabe 1.7=
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| − | Es sei <math>M_{2 \times 2}</math> die Menge aller <math>2 \times 2</math> Matrizen ohne die Matrix, die nur aus Nullen besteht. Untersuchen Sie, ob <math>M_{2 \times 2}</math> bzgl. der üblichen Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.
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| − | =Aufgabe 1.8=
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| − | Geben Sie eine vierelementige Teilmenge aus <math>M_{2 \times 2}</math> an, die bzgl. der Matrizenmultiplikation eine Gruppe ist.
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| | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> |
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