Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 1 SoSe 2018

Aufgabe 1.1 Unter der symmetrischen Gruppe $S_n$ versteht man die Gruppe der Permutationen von $n$ Elementen bezüglich der NAF von Permutationen. Generieren Sie die Verknüpfungstabelle der $S_4$. Aufgabe 1.2 Die symmetrische Gruppe $S_3$ besteht aus 6 Permutationen. Interpretieren Sie die $S_3$ als Deckabbildungsgruppe eines regelmäßigen n-Ecks. Aufgabe 1.3 Unter $\mathbb{Z}/_5$ verstehen wir alle Restklassen modulo $5$, d.h. in der Klasse $\overline{a}$ liegen alle ganzen Zahlen die denselben Rest bei Division durch $5$ wie die ganze Zahl $a$ lassen. Die Addition $\oplus$zweier Restklassen $\overline{a}$ und $\overline{b}$ ist wie folgt definiert: $\overline{a} \oplus \overline{b} := \overline{a + b}$. Beweisen Sie: Die Restklassenaddition der Restklassen modulo $5$ ist repräsentantenunabhängig, d.h. es gilt: $\overline{a_1}=\overline{a_2} \land \overline{b_1} = \overline{b_2} \Rightarrow \overline{a_1} \oplus \overline{b_1} = \overline{a_2} \oplus \overline{b_2}$ Aufgabe 1.4 Beweisen Sie, dass $[\mathbb{Z}/_5,\oplus]$ eine Gruppe ist. Aufgabe 1.5 Es sei $\mathbb{Z}_5\setminus\overline{0}$ die Menge der Restklassen modulo $5$ ohne die Klasse $\overline{0}$. Beweisen Sie, dass diese Menge von Restklassen bzgl. der Retsklassenmultiplikation eine Gruppe bildet. Aufgabe 1.6 Es sei $[\mathbb{N},\cdot]$ die Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null) zusammen mit der üblichen Multiplikation. Welche Gruppenaxiome sind in $[\mathbb{N},\cdot]$ erfüllt und welche nicht? Aufgabe 1.7 Es sei $M_{2 \times 2}$ die Menge aller $2 \times 2$ Matrizen ohne die Matrix, die nur aus Nullen besteht. Untersuchen Sie, ob $M_{2 \times 2}$ bzgl. der üblichen Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet. Aufgabe 1.8 Geben Sie eine vierelementige Teilmenge aus $M_{2 \times 2}$ an, die bzgl. der Matrizenmultiplikation eine Gruppe ist.