Lösung von Aufgabe 2.10 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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Es seien <math>g</math> eine Gerade und <math>P</math> ein Punkt außerhalb von <math>g</math>. Ferner sei <math>l</math> eine Gerade die senkrecht auf <math>g</math> steht und durch <math>P</math> geht. Beweisen Sie: Es gibt keine weitere von <math>l</math> verschiedene Gerade, dir ebenfalls senkrecht auf <math>g</math> steht und durch <math>P</math> geht. <br />
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Hinweis: Es handelt sich um einen "Highlanderbeweis" (Es kann nur einen geben: [https://de.wikipedia.org/wiki/Highlander_%E2%80%93_Es_kann_nur_einen_geben Highlander - Es kann nur einen geben]). In der Regel führt man derartige Eindeutigkeitsbeweise als Widerspruchsbeweise.<br />
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Es seien <math>g</math> eine Gerade und <math>P \not \in g</math> ein Punkt. Wir nehmen an, dass zwei verschiedene Geraden <math>l_1</math> und <math>l_2</math> existieren, die durch <math>P</math> gehen und senkrecht auf <math>g</math> stehen. <math>l_1</math> habe mit <math>g</math> den Punkt <math>L_1</math> gemeinsam, der Schnittpunkt von <math>l_2</math> mit <math>g</math> sei mit <math>L_2</math> bezeichnet. Weil sowohl <math>l_1</math> als auch <math>l_2</math> senkrecht auf <math>g</math> steht, hat das Dreieck <math>\overline{L_1,L_2,P}</math> zwei rechte Winkel. Das ist ein Widerspruch zum Innenwinkelsatz für Dreiecke.
  
  

Aktuelle Version vom 22. Mai 2018, 13:57 Uhr

Aufgabe 2.10 SoSe 2018

Es seien g eine Gerade und P ein Punkt außerhalb von g. Ferner sei l eine Gerade die senkrecht auf g steht und durch P geht. Beweisen Sie: Es gibt keine weitere von l verschiedene Gerade, dir ebenfalls senkrecht auf g steht und durch P geht.
Hinweis: Es handelt sich um einen "Highlanderbeweis" (Es kann nur einen geben: Highlander - Es kann nur einen geben). In der Regel führt man derartige Eindeutigkeitsbeweise als Widerspruchsbeweise.

Lösung

Es seien g eine Gerade und P \not \in g ein Punkt. Wir nehmen an, dass zwei verschiedene Geraden l_1 und l_2 existieren, die durch P gehen und senkrecht auf g stehen. l_1 habe mit g den Punkt L_1 gemeinsam, der Schnittpunkt von l_2 mit g sei mit L_2 bezeichnet. Weil sowohl l_1 als auch l_2 senkrecht auf g steht, hat das Dreieck \overline{L_1,L_2,P} zwei rechte Winkel. Das ist ein Widerspruch zum Innenwinkelsatz für Dreiecke.


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