Lösung von Aufgabe 2.10 SoSe 2018

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Aufgabe 2.10 SoSe 2018

Es seien g eine Gerade und P ein Punkt außerhalb von g. Ferner sei l eine Gerade die senkrecht auf g steht und durch P geht. Beweisen Sie: Es gibt keine weitere von l verschiedene Gerade, dir ebenfalls senkrecht auf g steht und durch P geht.
Hinweis: Es handelt sich um einen "Highlanderbeweis" (Es kann nur einen geben: Highlander - Es kann nur einen geben). In der Regel führt man derartige Eindeutigkeitsbeweise als Widerspruchsbeweise.

Lösung

Es seien g eine Gerade und P \not \in g ein Punkt. Wir nehmen an, dass zwei verschiedene Geraden l_1 und l_2 existieren, die durch P gehen und senkrecht auf g stehen. l_1 habe mit g den Punkt L_1 gemeinsam, der Schnittpunkt von l_2 mit g sei mit L_2 bezeichnet. Weil sowohl l_1 als auch l_2 senkrecht auf g steht, hat das Dreieck \overline{L_1,L_2,P} zwei rechte Winkel. Das ist ein Widerspruch zum Innenwinkelsatz für Dreiecke.