Lösung von Aufgabe 2.10 SoSe 2018

Aufgabe 2.10 SoSe 2018 Es seien $g$ eine Gerade und $P$ ein Punkt außerhalb von $g$. Ferner sei $l$ eine Gerade die senkrecht auf $g$ steht und durch $P$ geht. Beweisen Sie: Es gibt keine weitere von $l$ verschiedene Gerade, dir ebenfalls senkrecht auf $g$ steht und durch $P$ geht. Hinweis: Es handelt sich um einen "Highlanderbeweis" (Es kann nur einen geben: Highlander - Es kann nur einen geben). In der Regel führt man derartige Eindeutigkeitsbeweise als Widerspruchsbeweise. Lösung Es seien $g$ eine Gerade und $P \not \in g$ ein Punkt. Wir nehmen an, dass zwei verschiedene Geraden $l_1$ und $l_2$ existieren, die durch $P$ gehen und senkrecht auf $g$ stehen. $l_1$ habe mit $g$ den Punkt $L_1$ gemeinsam, der Schnittpunkt von $l_2$ mit $g$ sei mit $L_2$ bezeichnet. Weil sowohl $l_1$ als auch $l_2$ senkrecht auf $g$ steht, hat das Dreieck $\overline{L_1,L_2,P}$ zwei rechte Winkel. Das ist ein Widerspruch zum Innenwinkelsatz für Dreiecke.