Untergruppen, Untergruppenkriterien: Unterschied zwischen den Versionen

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:<math>\forall P, Q \in  \varepsilon: \vert PQ \vert = \vert \beta(P) \beta(Q)\vert </math><br />
 
:<math>\forall P, Q \in  \varepsilon: \vert PQ \vert = \vert \beta(P) \beta(Q)\vert </math><br />
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Die Menge aller Bewegungen wollen wir mit <math>\Beta</math> bezeichnen.
  
 
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Version vom 27. Mai 2018, 14:16 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Beispiele, Gegenbeispiele

Beispiel 1

Wir gehen von der additiven Gruppe der Restklassen modulo 6 aus [\mathbb{Z}_6, \oplus].
Die Gruppe besteht aus den folgenden Restklassen: \mathbb{Z}_6=\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5} \}
Die Gruppentafel sieht wie folgt aus:

\oplus \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4} \overline{5}
\overline{0} \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4} \overline{5}
\overline{1} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4} \overline{5} \overline{0}
\overline{2} \overline{2} \overline{3} \overline{4} \overline{5} \overline{0} \overline{1}
\overline{3} \overline{3} \overline{4} \overline{5} \overline{0} \overline{1} \overline{2}
\overline{4} \overline{4} \overline{5} \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3}
\overline{5} \overline{5} \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4}

Wir wählen aus \mathbb{Z}_6 die folgende Teilmenge 2\mathbb{Z}_6aus:

2\mathbb{Z}_6:=\{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\}

[2\mathbb{Z}_6, \oplus] ist eine Gruppe und damit eine Untergruppe von [\mathbb{Z}_6, \oplus]

\oplus \overline{0} \overline{2} \overline{4}
\overline{0} \overline{0} \overline{2} \overline{4}
\overline{2} \overline{2} \overline{4} \overline{0}
\overline{4} \overline{4} \overline{0} \overline{2}

Beispiel 2

Die Gruppe der Bewegungen

Die Gruppenmitglieder

Unter einer Bewegung \beta versteht man eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich:
Es sei \varepsilon unsere Ebene.

\beta ist Relation
\forall P \in \varepsilon \exist P' \in \varepsilon: P'=\beta(P)
\beta ist eindeutig und damit Abbildung
\forall P \in \varepsilon: P'=\beta(P) \land P^*=\beta(P) \Rightarrow P'=P^*
\beta ist abstandserhaltend
\forall P, Q \in \varepsilon: \vert PQ \vert = \vert \beta(P) \beta(Q)\vert

Die Menge aller Bewegungen wollen wir mit \Beta bezeichnen.

Die Verknüpfung

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