# Beispiele, Gegenbeispiele

## Beispiel 1

Wir gehen von der additiven Gruppe der Restklassen modulo 6 aus $[\mathbb{Z}_6, \oplus]$.
Die Gruppe besteht aus den folgenden Restklassen: $\mathbb{Z}_6=\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5} \}$
Die Gruppentafel sieht wie folgt aus:

 $\oplus$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{1}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{3}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{5}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$

Wir wählen aus $\mathbb{Z}_6$ die folgende Teilmenge $2\mathbb{Z}_6$aus:

$2\mathbb{Z}_6:=\{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\}$

$[2\mathbb{Z}_6, \oplus]$ ist eine Gruppe und damit eine Untergruppe von $[\mathbb{Z}_6, \oplus]$

 $\oplus$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{2}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{0}$ $\overline{4}$ $\overline{4}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$