Serie 5: Parameterdarstellungen I SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir legen unseren Betrachtungen ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung <math>O</math> zugrunde. Es seien <math>k</math> ein Einheitskreis in Mittelpunktslage und <math>A</math> der Schnittpunkt von <math>k</math> mit der positiven <math>x-</math>Achse. Der Punkt <math>P</math> möge sich auf dem Kreis bewegen und zunächst mit $A$ zusammenfallen. Den Winkel <math>\angle AOP</math> bezeichnen wir mit <math>\varphi</math>. Wir verstehen <math>\varphi</math> als gerichteten Winkel, d.h. bewegt sich <math>P</math> hinreichend lange mit mathematisch negativen Drehsinn (mit dem Uhrzeigersinn) auf <math>k</math> wird <math>\varphi</math> negativ.<br />
  
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[https://ggbm.at/zschkpuv geogebraApp]<br />
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Ergänzen Sie die folgende Tabelle:<br />
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! Umdrehungen von <math>P</math> !! <math>\varphi</math> in Gradmaß !! <math>\varphi</math> in Bogenmaß
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| <math>1</math> || <math>360^\circ</math> || <math>2\pi</math>
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| <math>\frac{1}{4}</math> || <math>\ldots</math> || <math>\ldots</math>
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| <math>-\frac{1}{3}</math> || <math>\ldots</math> || <math>\ldots</math>
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| <math>\ldots</math>|| <math>72^\circ</math>|| <math>\ldots</math>
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| <math>\ldots</math> || <math>\ldots</math> || <math>\frac{\pi}{12}</math>
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=Aufgabe 5.2=
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Eine Punktmasse <math>P</math> bewegt sich gleichförmig auf einem Einheitskreis <math>k</math> in Mittelpunktslage mit einer Frequenz von <math>50~\text{Hz}</math>, d.h. sie vollführt 50 Umdrehungen pro Sekunde. (<math>\text{Hz}</math> ist die Abkürzung für die Einheit <math>1\text{Hertz}</math>. Sie wurde zu Ehren des deutschen Physikers Heinrich Hertz eingeführt. Es gilt <math>1\text{Hz}=1s^{-1}</math>.) Welchen Weg hat <math>P</math> nach
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# <math>1 \text{min}</math>,
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# <math>1 \text{h}</math>,
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# <math>\frac{3}{2}\text{min}</math>
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# <math>\pi s</math>
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zurück gelegt?
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=Aufgabe 5.3=
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Eine Punktmasse <math>P</math> bewegt sich gleichförmig auf einem Einheitskreis <math>k</math> in Mittelpunktslage mit folgenden Frequenzen  <math>f</math>:
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#<math>f=1 Hz</math>
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#<math>f= 10 Hz</math>
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#<math>f= \pi Hz</math>
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#<math>f= 50 Hz</math>
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Die sogenannte Kreisfrequenz (Winkelfrequenz) <math>\omega</math> berechnet sich zu <math>\omega = 2 \pi f</math>. Berechnen Sie die zugehörigen Kreisfrequenzen und interpretieren Sie diese sowohl physikalisch als auch geometrisch.
 
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[[Kategorie:Linalg]]
 
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Aktuelle Version vom 3. Juli 2018, 15:08 Uhr

Aufgabe 5.1

Wir legen unseren Betrachtungen ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O zugrunde. Es seien k ein Einheitskreis in Mittelpunktslage und A der Schnittpunkt von k mit der positiven x-Achse. Der Punkt P möge sich auf dem Kreis bewegen und zunächst mit $A$ zusammenfallen. Den Winkel \angle AOP bezeichnen wir mit \varphi. Wir verstehen \varphi als gerichteten Winkel, d.h. bewegt sich P hinreichend lange mit mathematisch negativen Drehsinn (mit dem Uhrzeigersinn) auf k wird \varphi negativ.

geogebraApp
Ergänzen Sie die folgende Tabelle:

Umdrehungen von P \varphi in Gradmaß \varphi in Bogenmaß
1 360^\circ 2\pi
\frac{1}{4} \ldots \ldots
-\frac{1}{3} \ldots \ldots
\ldots \ldots -\pi
\ldots 72^\circ \ldots
\frac{8}{9} \ldots \ldots
\ldots -495^\circ \ldots
\ldots \ldots \frac{\pi}{12}
\ldots 2^\circ \ldots
\ldots \ldots \frac{\pi}{2\pi}

Aufgabe 5.2

Eine Punktmasse P bewegt sich gleichförmig auf einem Einheitskreis k in Mittelpunktslage mit einer Frequenz von 50~\text{Hz}, d.h. sie vollführt 50 Umdrehungen pro Sekunde. (\text{Hz} ist die Abkürzung für die Einheit 1\text{Hertz}. Sie wurde zu Ehren des deutschen Physikers Heinrich Hertz eingeführt. Es gilt 1\text{Hz}=1s^{-1}.) Welchen Weg hat P nach

  1. 1 \text{min},
  2. 1 \text{h},
  3. \frac{3}{2}\text{min}
  4. \pi s

zurück gelegt?

Aufgabe 5.3

Eine Punktmasse P bewegt sich gleichförmig auf einem Einheitskreis k in Mittelpunktslage mit folgenden Frequenzen f:

  1. f=1 Hz
  2. f= 10 Hz
  3. f= \pi Hz
  4. f= 50 Hz

Die sogenannte Kreisfrequenz (Winkelfrequenz) \omega berechnet sich zu \omega = 2 \pi f. Berechnen Sie die zugehörigen Kreisfrequenzen und interpretieren Sie diese sowohl physikalisch als auch geometrisch.

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