Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 2 SoSe 2019: Unterschied zwischen den Versionen

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Es sei <math>\mathbb{L}</math> die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ <math>y=mx+n</math> beschreibbar sind <math>(m,n\in \mathbb{R}, m \neq 0)</math>. Unter <math>\circ</math> wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: <math>[\mathbb{L}, \circ]</math> ist eine Gruppe. <br />
 
Es sei <math>\mathbb{L}</math> die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ <math>y=mx+n</math> beschreibbar sind <math>(m,n\in \mathbb{R}, m \neq 0)</math>. Unter <math>\circ</math> wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: <math>[\mathbb{L}, \circ]</math> ist eine Gruppe. <br />
 
Hinweis: Die NAF von Funktionen ist generell assoziativ. Diesbezüglich müssen Sie nichts beweisen.
 
Hinweis: Die NAF von Funktionen ist generell assoziativ. Diesbezüglich müssen Sie nichts beweisen.
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=Aufgabe 02=
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Es sei <math>\mathbb{P}</math> die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ <math>y=mx</math> beschreibbar sind <math>(m\in \mathbb{R}, m \neq 0)</math>. Unter <math>\circ</math> wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: <math>[\mathbb{P}, \circ]</math> ist eine Untergruppe von <math>[\mathbb{L}, \circ]</math>.
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=Aufgabe 03=
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Untergruppenkriterium 1:<br />
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Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe und <math>U \subseteq G</math>. <math>[U, \circ]</math> ist Untergruppe von <math>[G, \circ] \Leftrightarrow </math><br />
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# <math>\forall a, b \in U: a \circ b \in U</math>,
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# <math>\forall a \in U : a^{-1} \in U</math>.
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Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 1
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=Aufgabe 4=
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Unter der Kleinschen Vierergruppe versteht man eine Gruppe mit 4 Elementen, die alle selbstinvers sind.<br />
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Geben Sie 3 konkrete Kleinsche Viergruppen an, und betten Sie diese als ein Untergruppe in jeweils eine Obergruppe ein.
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=Aufgabe 5=
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Beweisen Sie: Wenn eine Gruppe die Ordnung <math>4</math> hat, dann ist sie entweder zyklisch oder sie ist eine Kleinsche Vierergruppe.
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=Aufgabe 6=
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Wir definieren <math>F:=\{(r,g,b)|r,g,b \in \mathbb{N}, 0 \leq r \leq 255, 0 \leq g \leq 255, 0 \leq b \leq 255\}</math>. Auf <math>F</math> legen wir eine Operation <math>\oplus</math> wie folgt fest: <math>\forall (r_1,g_1,b_1) , (r_2,g_2,b_2) \in F : (r_1,g_1,b_1) \oplus (r_2,g_2,b_2):= (Rest((r_1+r_2),256),Rest((g_1+g_2),256),Rest((b_1+b_2),256) )</math>.
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Beweisen Sie: <math>[F, \oplus]</math> ist eine Gruppe
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=Aufgabe 7=
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Wir definieren <math>G:=\{(g,g,g)|g\in \mathbb{N}, 0 \leq g \leq 255 \}</math>. Beweisen Sie: <math>[G, \oplus]</math> ist Untergruppe von <math>[F, \oplus]</math>.
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=Aufgabe 8=
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Bestimmen Sie die Ordnungen der beiden Gruppen aus den Aufgaben 6 und 7. Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Satz von Lagrange.
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=Aufgabe 9=
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Geben Sie drei weitere Untergruppen von <math>[F, \oplus]</math> an.
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=Aufgabe 10=
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Es sei <math>Q</math> die Menge aller quadratischen Funktionen vom Typ <math>y=ax^2</math>. Wir definieren für alle Funktionen dieses Typs eine Addition <math>\oplus</math> wie folgt: <math>y=a_1x^2 \oplus y=a_2x^2 := y=(a_1+a_2)x^2</math>. Beweisen oder widerlegen Sie:<br />
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<math>[Q, \oplus]</math> ist eine Gruppe.
 
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[[Kategorie:Algebra]]
 
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Aktuelle Version vom 18. Juni 2019, 13:53 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 01

Es sei \mathbb{L} die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ y=mx+n beschreibbar sind (m,n\in \mathbb{R}, m \neq 0). Unter \circ wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: [\mathbb{L}, \circ] ist eine Gruppe.
Hinweis: Die NAF von Funktionen ist generell assoziativ. Diesbezüglich müssen Sie nichts beweisen.

Aufgabe 02

Es sei \mathbb{P} die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ y=mx beschreibbar sind (m\in \mathbb{R}, m \neq 0). Unter \circ wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: [\mathbb{P}, \circ] ist eine Untergruppe von [\mathbb{L}, \circ].

Aufgabe 03

Untergruppenkriterium 1:
Es sei [G, \circ] eine Gruppe und U \subseteq G. [U, \circ] ist Untergruppe von [G, \circ] \Leftrightarrow

  1. \forall a, b \in U: a \circ b \in U,
  2. \forall a \in U : a^{-1} \in U.

Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 1

Aufgabe 4

Unter der Kleinschen Vierergruppe versteht man eine Gruppe mit 4 Elementen, die alle selbstinvers sind.
Geben Sie 3 konkrete Kleinsche Viergruppen an, und betten Sie diese als ein Untergruppe in jeweils eine Obergruppe ein.

Aufgabe 5

Beweisen Sie: Wenn eine Gruppe die Ordnung 4 hat, dann ist sie entweder zyklisch oder sie ist eine Kleinsche Vierergruppe.

Aufgabe 6

Wir definieren F:=\{(r,g,b)|r,g,b \in \mathbb{N}, 0 \leq r \leq 255, 0 \leq g \leq 255, 0 \leq b \leq 255\}. Auf F legen wir eine Operation \oplus wie folgt fest: \forall (r_1,g_1,b_1) , (r_2,g_2,b_2) \in F : (r_1,g_1,b_1) \oplus (r_2,g_2,b_2):= (Rest((r_1+r_2),256),Rest((g_1+g_2),256),Rest((b_1+b_2),256) ). Beweisen Sie: [F, \oplus] ist eine Gruppe

Aufgabe 7

Wir definieren G:=\{(g,g,g)|g\in \mathbb{N}, 0 \leq g \leq 255 \}. Beweisen Sie: [G, \oplus] ist Untergruppe von [F, \oplus].

Aufgabe 8

Bestimmen Sie die Ordnungen der beiden Gruppen aus den Aufgaben 6 und 7. Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Satz von Lagrange.

Aufgabe 9

Geben Sie drei weitere Untergruppen von [F, \oplus] an.

Aufgabe 10

Es sei Q die Menge aller quadratischen Funktionen vom Typ y=ax^2. Wir definieren für alle Funktionen dieses Typs eine Addition \oplus wie folgt: y=a_1x^2 \oplus y=a_2x^2 := y=(a_1+a_2)x^2. Beweisen oder widerlegen Sie:
[Q, \oplus] ist eine Gruppe.

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