Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 2 SoSe 2019

Aufgabe 01 Es sei $\mathbb{L}$ die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ $y=mx+n$ beschreibbar sind $(m,n\in \mathbb{R}, m \neq 0)$. Unter $\circ$ wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: $[\mathbb{L}, \circ]$ ist eine Gruppe. Hinweis: Die NAF von Funktionen ist generell assoziativ. Diesbezüglich müssen Sie nichts beweisen. Aufgabe 02 Es sei $\mathbb{P}$ die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ $y=mx$ beschreibbar sind $(m\in \mathbb{R}, m \neq 0)$. Unter $\circ$ wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: $[\mathbb{P}, \circ]$ ist eine Untergruppe von $[\mathbb{L}, \circ]$. Aufgabe 03 Untergruppenkriterium 1: Es sei $[G, \circ]$ eine Gruppe und $U \subseteq G$. $[U, \circ]$ ist Untergruppe von $[G, \circ] \Leftrightarrow$ $\forall a, b \in U: a \circ b \in U$, $\forall a \in U : a^{-1} \in U$. Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 1 Aufgabe 4 Unter der Kleinschen Vierergruppe versteht man eine Gruppe mit 4 Elementen, die alle selbstinvers sind. Geben Sie 3 konkrete Kleinsche Viergruppen an, und betten Sie diese als ein Untergruppe in jeweils eine Obergruppe ein. Aufgabe 5 Beweisen Sie: Wenn eine Gruppe die Ordnung $4$ hat, dann ist sie entweder zyklisch oder sie ist eine Kleinsche Vierergruppe. Aufgabe 6 Wir definieren $F:=\{(r,g,b)|r,g,b \in \mathbb{N}, 0 \leq r \leq 255, 0 \leq g \leq 255, 0 \leq b \leq 255\}$. Auf $F$ legen wir eine Operation $\oplus$ wie folgt fest: $\forall (r_1,g_1,b_1) , (r_2,g_2,b_2) \in F : (r_1,g_1,b_1) \oplus (r_2,g_2,b_2):= (Rest((r_1+r_2),256),Rest((g_1+g_2),256),Rest((b_1+b_2),256) )$. Beweisen Sie: $[F, \oplus]$ ist eine Gruppe Aufgabe 7 Wir definieren $G:=\{(g,g,g)|g\in \mathbb{N}, 0 \leq g \leq 255 \}$. Beweisen Sie: $[G, \oplus]$ ist Untergruppe von $[F, \oplus]$. Aufgabe 8 Bestimmen Sie die Ordnungen der beiden Gruppen aus den Aufgaben 6 und 7. Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Satz von Lagrange. Aufgabe 9 Geben Sie drei weitere Untergruppen von $[F, \oplus]$ an. Aufgabe 10 Es sei $Q$ die Menge aller quadratischen Funktionen vom Typ $y=ax^2$. Wir definieren für alle Funktionen dieses Typs eine Addition $\oplus$ wie folgt: $y=a_1x^2 \oplus y=a_2x^2 := y=(a_1+a_2)x^2$. Beweisen oder widerlegen Sie: $[Q, \oplus]$ ist eine Gruppe.