Lösung von Aufgabe 12.10: Unterschied zwischen den Versionen
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− | VSS: Gerade <math> a,b,c </math>, <math> a \| b </math>, <math> c </math> schneidet <math> a </math> und <math> b </math><br /> | + | VSS: Gerade <math> \ a,b,c </math>, <math> \ a \| b </math>, <math> \ c </math> schneidet <math> \ a </math> und <math> \ b </math><br /> |
− | Beh: <math> \alpha , \beta </math> sind Stufenwinkel, oBdA: <math> \alpha \cong \beta </math><br /> | + | Beh: <math> \ \alpha , \beta </math> sind Stufenwinkel, oBdA: <math> \alpha \cong \beta </math><br /> |
− | ANN: <math>| \beta | | + | ANN: <math> \ |\beta| > |\alpha|</math><br /> |
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! style="background: #FFDDDD;"|(I) | ! style="background: #FFDDDD;"|(I) | ||
− | | das Maß <math>| \alpha | </math> im Scheitelpunkt S von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha </math> abtragen, es entsteht der Strahl <math>{SP^{+}}</math> der mit dem Schenkel auf c einen Winkel mit dem Winkelmaß <math>| | + | | das Maß <math> \ |\alpha|</math> im Scheitelpunkt <math> \ S</math> von <math> \ \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \ \alpha </math> abtragen, es entsteht der Strahl <math> \ {SP^{+}}</math> der mit dem Schenkel auf <math> \ c</math> einen Winkel mit dem Winkelmaß <math> \ |\alpha'|</math> bildet |
| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom) | | (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom) | ||
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− | | <math> \alpha \cong | + | | <math> \alpha \cong \alpha'</math>, es sind Stufenwinkel |
| (I), (Def. Stufenwinkel) | | (I), (Def. Stufenwinkel) | ||
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Aktuelle Version vom 19. Juli 2010, 17:49 Uhr
Beweis des Stufenwinkelsatzes:
Es seien a und b zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent.
Lösung 1
VSS: Gerade , , schneidet und
Beh: sind Stufenwinkel, oBdA:
ANN:
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
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(I) | das Maß im Scheitelpunkt von in der gleichen Halbebene bzgl abtragen, es entsteht der Strahl der mit dem Schenkel auf einen Winkel mit dem Winkelmaß bildet | (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom) |
(II) | , es sind Stufenwinkel | (I), (Def. Stufenwinkel) |
(III) | (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (I), (II) | |
(IV) | und mit und | (VSS), (III) |
--> Widerspruch zum euklidischen Parallelenaxiom. (höchstens eine Gerade parallel durch einen Punkt P...)
--> ANN falsch, Beh. wahr
--Löwenzahn 11:27, 14. Jul. 2010 (UTC)