Lösung von Aufgabe 12.4: Unterschied zwischen den Versionen

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| IN ARBEIT: Strecke AP auf neuer Geraden antragen
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| Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von <math>\ |AP|</math> an. Es entsteht der Punkt <math>\ P'</math>.
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| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
 
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| IN ARBEIT: Gerade PP' schneidet g in L
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| <math>\ PP' \cap g </math>. Der Schnittpunkt sei <math>\ L</math>.
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| Axiom III.2: Das Axiom von Pasch
 
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| IN ARBEIT: zwei kongruente Dreiecke - SWS
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| Es entstehen zwei kongruente Dreiecke <math>\overline {PLA}</math> und <math>\overline {P'LA}</math>
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| SWS
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S - <math>\overline {PA} \cong \overline {P'A}</math> (III)
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<br />W - <math>\alpha \cong \alpha'</math> (II)
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<br />S - <math>\overline {AL} \cong \overline {AL}</math> trivial
 
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| IN ARBEIT: Winkel an L sind Nebenwinkel und kongruent --> rechte Winkel
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| Die Winkel an <math>\ L</math> sind rechte Winkel
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| (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel)
 
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| IN ARBEIT: Gerade PL steht senkrecht auf g --> PL ist Lotgerade, Strecke PL ist Lot(strecke)
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| <math>\ PL</math> steht senkrecht auf <math>\ g \rightarrow PL</math> ist Lotgerade, <math>\overline {PL} \ </math> ist Lot(strecke)
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| (VI), Definition Lot
 
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Version vom 20. Juli 2010, 13:37 Uhr

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt \ P auf eine Gerade \ g.

Existenz

Voraussetzung: Gerade \ g, Punkt \ P \notin g
Behauptung: Es existiert ein Lot \ lvon \ P auf \ g mit Lotfußpunkt \ L
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf \ g, die durch \ P geht.

Nr. Beweisschritt Begründung
(I) Es existiert ein Punkt A \in g, der Abstand zu P beträgt |AP| \ Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(II) Am Scheitelpunkt A \ wird an der Gerade g \ der Winkel \alpha \ in die Halbebene g,P^- \ abgetragen. Winkelkonstruktionsaxiom
(III) Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von \ |AP| an. Es entsteht der Punkt \ P'. Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(IV) \ PP' \cap g . Der Schnittpunkt sei \ L. Axiom III.2: Das Axiom von Pasch
(V) Es entstehen zwei kongruente Dreiecke \overline {PLA} und \overline {P'LA} SWS

S - \overline {PA} \cong \overline {P'A} (III)
W - \alpha \cong \alpha' (II)
S - \overline {AL} \cong \overline {AL} trivial

(VI) Die Winkel an \ L sind rechte Winkel (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel)
(VII) \ PL steht senkrecht auf \ g \rightarrow PL ist Lotgerade, \overline {PL} \ ist Lot(strecke) (VI), Definition Lot

Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel \alpha \ bezüglich AP^+ \ in der selben Halbebene liegt. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.


Eindeutigkeit

Voraussetzung: Gerade \ g, Punkt \ P \notin g, Lot \ lvon \ P auf \ g mit Lotfußpunkt \ L
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von \ P auf \ g.
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von \ P auf \ g.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt \ L'

Nr. Beweisschritt Begründung
(I) Es existiert ein Dreieck \overline {PLL'} VSS, Punkte \ L L' P sind nicht kollinear, da \ L \in g \and L' \in g \and P \notin g laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
(II) |\angle LL'P| = 90 Annahme, \ L' ist Lotfußpunkt
(III) |\angle PLL'| = 90 VSS, \ L ist Lotfußpunkt
(IV) Außenwinkel von |\angle LL'P| = 90 Supplementaxiom
(V) |\angle PLL'| < Außenwinkel von |\angle LL'P|


|\angle PLL'| < 90

Schwacher Außenwinkelsatz
(VI) Annahme muss verworfen werden Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!


--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)

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