Übungsaufgaben 3 EG WS2010: Unterschied zwischen den Versionen

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Beweisen Sie: Wenn die beiden Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> den Punkt <math>\ Z</math> und nur den Punkt <math>\ Z</math> gemeinsam haben, dann gilt <math>S_h \circ S_g = D_{Z,2|\angle (g,h)}|</math>.<br /><br />
 
Beweisen Sie: Wenn die beiden Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> den Punkt <math>\ Z</math> und nur den Punkt <math>\ Z</math> gemeinsam haben, dann gilt <math>S_h \circ S_g = D_{Z,2|\angle (g,h)}|</math>.<br /><br />
 
Gitl nicht: <math>S_h \circ S_g = D_{Z,\angle (g,h)*2}</math>?--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 10:00, 25. Nov. 2010 (UTC)
 
Gitl nicht: <math>S_h \circ S_g = D_{Z,\angle (g,h)*2}</math>?--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 10:00, 25. Nov. 2010 (UTC)
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hab's gerade geändert--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:19, 25. Nov. 2010 (UTC) danke
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==Lösung von Aufgabe 1==
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Wir zeigen zunächst, dass die Nacheinanderausführung <math>S_h \circ S_g</math> überhaupt eine Drehung ist.
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Hierzu brauchen wir nur zu zeigen, dass <math>S_h \circ S_g</math> genau einen Fixpunkt hat, denn eine Bewegung ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt hat. Weil Z der einzige Punkt ist, der sowohl auf g als auch auf h liegt, ist er auch der einzige Fixpunkt von <math>S_h \circ S_g</math> (Der Leser überzeuge sich davon.)
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Also ist <math>S_h \circ S_g</math> eine Drehung um den Fixpunkt Z.
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Es bleibt zu zeigen, dass der Drehwinkel <math>\alpha</math> dieser Drehung doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen den beiden Geraden g und h (Reihenfolge beachten).
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Hierzu reicht es zu zeigen, dass ein spezieller Punkt P mit P verschieden von Z derart durch <math>S_h \circ S_g</math> auf P' abgebildet wird, dass der Winkel <math>\angle P,Z,P'</math> doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen den beiden Geraden g und h.
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Begründung:
  
 
==Aufgabe 2==
 
==Aufgabe 2==
 
Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei zueinander parallele Geraden. Ferner sei <math>\ a</math> eine Gerade, die senkrecht auf <math>\ g</math> und damit auch senkrecht auf <math>\ h</math> steht. Der Punkt <math>\ G</math> sei der Schnittpunkt von <math>\ a</math> mit <math>\ g</math> und der gemeinsame Schnittpunkt von <math>\ a</math> und <math>\ h</math> sei mit <math>\ H</math> bezeichnet.
 
Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei zueinander parallele Geraden. Ferner sei <math>\ a</math> eine Gerade, die senkrecht auf <math>\ g</math> und damit auch senkrecht auf <math>\ h</math> steht. Der Punkt <math>\ G</math> sei der Schnittpunkt von <math>\ a</math> mit <math>\ g</math> und der gemeinsame Schnittpunkt von <math>\ a</math> und <math>\ h</math> sei mit <math>\ H</math> bezeichnet.
  
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Man beweise: <math>S_h \circ S_g = V_{2 \overrightarrow{GH}}</math>.
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Man beweise: <math>S_h \circ S_g = V_{2 \overrightarrow{GH}}</math>.<br />
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<br />==Beweis Aufgabe 2==<br />
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<ggb_applet width="882" height="498"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
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Es sei <math>\ P</math> ein Punkt der Ebene mit <math>\ P \notin \ g, h</math> (Für <math>\ P \in \ g \ oder \ h</math> geht der Beweis analog)
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Wir haben zu zeigen: <br />
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1. <math>\ PP'' \ || \ GH</math><br />
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2. <math>\ 2| \overrightarrow{GH}| \ = \overline {|PP''|}</math><br />
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3. Den Richtungssinn müssen wir, glaube ich, nicht zeigen, da klar ist, dass wir zuerst an g und danach an h spiegeln und somit klar ist, dass die "Richtung" von G nach H geht (stimmt das??)<br />
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<br />
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1. Bei der Spiegelung von <math>\ P</math> an <math>\ g</math> erhalten wir den Lotfußpunkt <math>\ L1</math>. Bei der Spiegelung von <math>\ P'</math> an <math>\ h</math> erhalten wir den Lotfußpunkt <math>\ L2</math>.<br />
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Somit sind <math>\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta</math> alle rechte Winkel und wir erhalten das Rechteck <math>\overline {GHL1L2}</math>.<br />
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<br />
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Daraus folgt, dass <math>\ L1L2 \ || \ GH</math>, woraus man folgern kann, dass <math>\ PP'' \ || \ GH</math>
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2. <br />
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Beweis
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{| class="wikitable "
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! Beweisschritt
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! Begründung
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|-
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| 1) <math>\overrightarrow{GH} \cong \overline {L1L2}</math>
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|
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| 2)  <math>|\overline {L1L2} | \ = \ | \overline {L1P'} | \ + \ | \overline {P'L2}| </math>
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| Zwischenrelation (gilt nur für die Annahme, dass P in einer anderen Halbebene bezüglich g liegt wie h, für die anderen Fälle müsste der Beweis aber ähnlich ablaufen.)
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|-
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| 3) <math>\ 2| \overline {L1P'}| \ =\ | \overline {PP'}| </math> , <math>\ 2| \overline {P'L2}| \ =\ | \overline {P'P''}| </math>
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| Definition Geradenspiegelung
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|-
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| 4) <math>\ | \overline {PP''}| \ =\ 2| \overline {L1L2}| \ =\ 2| \overline {GH}| </math>
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| (1), (2), (3)
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|-
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|} - Steph85
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==Aufgabe 3==
 
==Aufgabe 3==
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Es seien <math>\ Z_1</math> und <math>\ Z_2</math> zwei nicht identische Punkte. Ferner seien die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> supplementär.
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Es seien <math>\ Z_1</math> und <math>\ Z_2</math> zwei nicht identische Punkte. Ferner seien die Winkel <math>\ \frac{\alpha}{2}</math> und <math>\ \frac{\beta}{2}</math> supplementär.
  
 
Man beweise: <math>D_{Z_2,\beta} \circ D_{Z_1, \alpha} = V_{2 \overrightarrow{Z_1Z_2}}</math>.
 
Man beweise: <math>D_{Z_2,\beta} \circ D_{Z_1, \alpha} = V_{2 \overrightarrow{Z_1Z_2}}</math>.
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===Beweis===
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Ist dieser Satz überhaupt korrekt?<br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 18:19, 28. Nov. 2010 (UTC)
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Ich denke nicht. Zwar ist das Ergebnis zweier solcher Drehungen eine Verschiebung, die Richtung ist jedoch eine andere  und die Länge ist auch eine andere(außer <math> \alpha = \beta = 180 </math>).
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Hier ein Gegenbeispiel:<br />
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<ggb_applet width="699" height="512"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />A'' und das Bild der Verschiebung stimmen nicht über ein!

Aktuelle Version vom 29. November 2010, 12:13 Uhr

Alle Aufgaben beziehen sich auf die ebene Geometrie.

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1

Beweisen Sie: Wenn die beiden Geraden \ g und \ h den Punkt \ Z und nur den Punkt \ Z gemeinsam haben, dann gilt S_h \circ S_g = D_{Z,2|\angle (g,h)}|.

Gitl nicht: S_h \circ S_g = D_{Z,\angle (g,h)*2}?--Tja??? 10:00, 25. Nov. 2010 (UTC) hab's gerade geändert--*m.g.* 10:19, 25. Nov. 2010 (UTC) danke

Lösung von Aufgabe 1

Wir zeigen zunächst, dass die Nacheinanderausführung S_h \circ S_g überhaupt eine Drehung ist.

Hierzu brauchen wir nur zu zeigen, dass S_h \circ S_g genau einen Fixpunkt hat, denn eine Bewegung ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt hat. Weil Z der einzige Punkt ist, der sowohl auf g als auch auf h liegt, ist er auch der einzige Fixpunkt von S_h \circ S_g (Der Leser überzeuge sich davon.)

Also ist S_h \circ S_g eine Drehung um den Fixpunkt Z.

Es bleibt zu zeigen, dass der Drehwinkel \alpha dieser Drehung doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen den beiden Geraden g und h (Reihenfolge beachten).

Hierzu reicht es zu zeigen, dass ein spezieller Punkt P mit P verschieden von Z derart durch S_h \circ S_g auf P' abgebildet wird, dass der Winkel \angle P,Z,P' doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen den beiden Geraden g und h.

Begründung:

Aufgabe 2

Es seien \ g und \ h zwei zueinander parallele Geraden. Ferner sei \ a eine Gerade, die senkrecht auf \ g und damit auch senkrecht auf \ h steht. Der Punkt \ G sei der Schnittpunkt von \ a mit \ g und der gemeinsame Schnittpunkt von \ a und \ h sei mit \ H bezeichnet.

Man beweise: S_h \circ S_g = V_{2 \overrightarrow{GH}}.


==Beweis Aufgabe 2==



Es sei \ P ein Punkt der Ebene mit \ P \notin \ g, h (Für \ P \in \ g \ oder \ h geht der Beweis analog)
Wir haben zu zeigen:
1. \ PP'' \ || \ GH
2. \ 2| \overrightarrow{GH}| \ = \overline {|PP''|}
3. Den Richtungssinn müssen wir, glaube ich, nicht zeigen, da klar ist, dass wir zuerst an g und danach an h spiegeln und somit klar ist, dass die "Richtung" von G nach H geht (stimmt das??)

1. Bei der Spiegelung von \ P an \ g erhalten wir den Lotfußpunkt \ L1. Bei der Spiegelung von \ P' an \ h erhalten wir den Lotfußpunkt \ L2.
Somit sind \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta alle rechte Winkel und wir erhalten das Rechteck \overline {GHL1L2}.

Daraus folgt, dass \ L1L2 \ || \ GH, woraus man folgern kann, dass \ PP'' \ || \ GH
2.
Beweis

Beweisschritt Begründung
1) \overrightarrow{GH} \cong \overline {L1L2}
2) |\overline {L1L2} | \ = \ | \overline {L1P'} | \ + \ | \overline {P'L2}| Zwischenrelation (gilt nur für die Annahme, dass P in einer anderen Halbebene bezüglich g liegt wie h, für die anderen Fälle müsste der Beweis aber ähnlich ablaufen.)
3) \ 2| \overline {L1P'}| \ =\ | \overline {PP'}| , \ 2| \overline {P'L2}| \ =\ | \overline {P'P''}| Definition Geradenspiegelung
4) \ | \overline {PP''}| \ =\ 2| \overline {L1L2}| \ =\ 2| \overline {GH}| (1), (2), (3)
- Steph85




Aufgabe 3

Es seien \ Z_1 und \ Z_2 zwei nicht identische Punkte. Ferner seien die Winkel \ \frac{\alpha}{2} und \ \frac{\beta}{2} supplementär.

Man beweise: D_{Z_2,\beta} \circ D_{Z_1, \alpha} = V_{2 \overrightarrow{Z_1Z_2}}.

Beweis

Ist dieser Satz überhaupt korrekt?
--Tja??? 18:19, 28. Nov. 2010 (UTC) Ich denke nicht. Zwar ist das Ergebnis zweier solcher Drehungen eine Verschiebung, die Richtung ist jedoch eine andere und die Länge ist auch eine andere(außer \alpha = \beta = 180 ). Hier ein Gegenbeispiel:


A und das Bild der Verschiebung stimmen nicht über ein!
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