Lösung von Aufg. 6.4: Unterschied zwischen den Versionen

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# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.  
 
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# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
 
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== Teilaufgabe 1 ==
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Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte. <br /><br />Wenn <math>\ A</math>,<math>\ B</math> und <math>\ C</math> nicht kollinear sind , dann sind je zwei der Punkte <math>\ A</math>,<math>\ B</math> und <math>\ C</math> nicht identisch.<br />
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Andere Formulierung: <math>\operatorname{nKoll} \left( A, B, C \right) \Rightarrow A \not\equiv B \not\equiv C \not\equiv A</math>
  
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== Teilaufgabe 2: Indirekter Beweis der Implikation ==
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=== Beweisprinzip ===
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Wir nehmen an, dass bei wahrer Voraussetzung die Behauptung nicht gilt. Anders ausgedrückt: Wir negieren die Behauptung, bleiben aber dabei, dass die Voraussetzung wahr ist.
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Bemerkung nebenbei: Es wäre sinnvoll, wenn sowas in Ihrem Glossar stehen würde. Dann bräuchte man jeweils nur einen Link zu setzen.
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=== Voraussetzungen ===
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==== allgemeine Voraussetzung ====
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<math>\ A, \ B, \ C</math> sind drei Punkte
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Bemerkung: Diese Voraussetzung möge ab sofort allem, was wir hier formulieren vorangestellt sein. Um uns auf das Wesentliche konzentrieren zu können, werden wir diese Voraussetzung nicht mehr explizit erwähnen.
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==== spezielle Voraussetzung ====
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Die drei Punkte <math>\ A, \ B, \ C</math> sind nicht kollinear.
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Andere Formulierungen:
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# Es gibt keine Gerade, die alle drei Punkte <math>\ A, \ B, \ C</math> enthält. (Übersetzung: nicht kollinear)
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# <math>\operatorname{nKoll} \left( A, B, C \right)</math>
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# <math>\neg \operatorname{Koll} \left( A, B, C \right)</math>
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# <math> \neg \exists g \in \mathcal{G} : A, B, C \in g</math> ( <math>\mathcal{G}</math> sei die Menge aller Geraden unserer Theorie)
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# <math>\forall g \in \mathcal{G} : A,B, C \not\in g</math>
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=== Behauptung ===
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Je zwei der drei Punkte <math>\ A, B, C</math> sind nicht identisch.
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Andere Formulierungen:
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# <math>\ A \not\equiv  B \not\equiv  C \not\equiv  A</math> (Überlegen Sie, warum einer der drei Punkte hier zweimal genannt werden muss.)
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# <math>\forall X, Y \in \mathcal{M} : X \not\equiv Y</math> (<math>\mathcal{M}</math> sei die Menge der Punkte <math>\ A, B, C</math>)
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# <math>\neg \exist X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math>
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=== Negation der Behauptung ===
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Zwei der Punkte <math>\ A, B, C</math> sind identisch.
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Andere Formulierungen:
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# <math>\ A \equiv B \or B \equiv C \or C \equiv A</math> (Überlegen Sie, warum hier <math>\ A \equiv B \equiv C</math> enthalten ist.
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# <math>\neg \forall X, Y \in \mathcal{M} : X \not\equiv Y</math>
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# <math> \exist X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math>
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(3) noch mal in Worten:<br />
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Es gibt zwei Punkte aus der Menge der Punkte<math> \ A, B, C</math>, die identisch sind.
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=== Annahme für den indirekten Beweis ===
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Es gibt zwei Punkte aus der Menge der Punkte<math> \ A, B, C</math>, die identisch sind.
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O.B.d.A. seien dieses die beiden Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>.
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also Annahme: <br /> <math>\ A \equiv B</math>
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=== Beweis ===
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==== Fall 1 ====
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(*)<math>\ B \not\equiv C</math>
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| <math>\operatorname{Koll} \left( A, B, C \right)</math>
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==== Fall 2 ====
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(**)<math>\ B \equiv C</math>, also <math>\ A \equiv B \equiv C </math>
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! Nr.
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! Beweisschritt
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! Begründung
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|-
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| (o)
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| <math>\exist P : P \not\equiv A</math>
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| [[Wichtige_Begriffe_der_Geometrie_-_Glossar#AXIOM_I.2F3 | Axiom I.3]]
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| (i)
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| <br /> <math>\ A \equiv B \equiv C</math>
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| Annahme (**)
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| (ii)
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| <math>\exist g \in \mathcal{G}: A, P \in g</math>
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| [[Wichtige_Begriffe_der_Geometrie_-_Glossar#AXIOM_I.2F1.28Axiom_von_der_Geraden.29| Axiom I.1]] und (i)
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| (iii)
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| <math>\ B, C \in g</math>
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| (i) und (ii)
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| <math>\operatorname{Koll} \left( A, B, C \right)</math>
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|(ii) und (iii)
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(iv) ist ein Widerspruch zur Voraussetzung <math>\operatorname{nKoll} \left( A,B, C \right)</math>
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Die Annahme ist deshalb zu verwerfen.
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== Teilaufgabe 3 ==
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=== Kontraposition ===
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Wenn nicht gilt: von drei Punkten sind je zwei nicht identisch, dann sind die drei Punkte nicht nicht kollinear.
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Wir schmeißen die doppelten Verneinungen raus:
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Wenn von drei Punkten zwei identisch sind, so sind die drei Punkte kollinear.
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== Teilaufgabe 4 ==
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=== Beweis der Kontraposition ===
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Voraussetzung: Von drei Punkte <math>\ A, B, C</math> sind zwei identisch: o.B.d.A. <math>\ A \equiv B</math>
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Behauptung: <math>\operatorname{Koll} \left( A, B, C) \right)</math>
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Fall 1: <math>\ B \not\equiv C</math>
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Fall 2: <math>\ B \equiv C</math>
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Jetzt geht es weiter wie in den beiden Fällen des indirekten Beweises, ohne dass wir auf einen Widerspruch kommen.<br />Erkennen Sie den Zusammenhang zwischen dem indirekten Beweisen einer Implikation und dem Beweisen ihrer Kontraposition?
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== Teilaufgabe 5==
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=== Die Umkehrung des Satzes ===
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Wenn drei Punkte paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.
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== Teilaufgabe 6 ==
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=== Gültigkeit der Umkehrung ===
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Gilt natürlich nicht. Beweis???
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=vorangegangene Diskussion bzw. Lösungsvorschläge=
 
1. Wenn A,B, C paarweise verschieden sind, dann sind die Punkte kollinear.<br />
 
1. Wenn A,B, C paarweise verschieden sind, dann sind die Punkte kollinear.<br />
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--> es müsste aber doch heißen: dann sind die Punkte NICHT kollinear. ALso so steht es doch auch in Satz 1 --[[Benutzer:DeFloGe|DeFloGe]] 12:39, 17. Nov. 2010 (UTC)
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Stimmt. Habe ich was übersehen. Man soll halt nicht mehrere Sachen gleichzeitig machen--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 13:46, 17. Nov. 2010 (UTC)
  
 
2. Voraussetzung: A,B,C sind nicht kollinear<br />
 
2. Voraussetzung: A,B,C sind nicht kollinear<br />

Aktuelle Version vom 2. Dezember 2010, 14:37 Uhr

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

  1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien A, B und C drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn A,B und C … , dann … .“
  2. Beweisen Sie Satz I indirekt.
  3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
  4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
  5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
  6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

Inhaltsverzeichnis

Lösung: --*m.g.* 12:41, 14. Jun. 2010 (UTC)--Schnirch 13:37, 2. Dez. 2010 (UTC)

Teilaufgabe 1

Es seien \ A, \ B und \ C drei Punkte.

Wenn \ A,\ B und \ C nicht kollinear sind , dann sind je zwei der Punkte \ A,\ B und \ C nicht identisch.
Andere Formulierung: \operatorname{nKoll} \left( A, B, C \right) \Rightarrow A \not\equiv B \not\equiv C \not\equiv A

Teilaufgabe 2: Indirekter Beweis der Implikation

Beweisprinzip

Wir nehmen an, dass bei wahrer Voraussetzung die Behauptung nicht gilt. Anders ausgedrückt: Wir negieren die Behauptung, bleiben aber dabei, dass die Voraussetzung wahr ist.

Bemerkung nebenbei: Es wäre sinnvoll, wenn sowas in Ihrem Glossar stehen würde. Dann bräuchte man jeweils nur einen Link zu setzen.

Voraussetzungen

allgemeine Voraussetzung

\ A, \ B, \ C sind drei Punkte

Bemerkung: Diese Voraussetzung möge ab sofort allem, was wir hier formulieren vorangestellt sein. Um uns auf das Wesentliche konzentrieren zu können, werden wir diese Voraussetzung nicht mehr explizit erwähnen.

spezielle Voraussetzung

Die drei Punkte \ A, \ B, \ C sind nicht kollinear.

Andere Formulierungen:

  1. Es gibt keine Gerade, die alle drei Punkte \ A, \ B, \ C enthält. (Übersetzung: nicht kollinear)
  2. \operatorname{nKoll} \left( A, B, C \right)
  3. \neg \operatorname{Koll} \left( A, B, C \right)
  4. \neg \exists g \in \mathcal{G} : A, B, C \in g ( \mathcal{G} sei die Menge aller Geraden unserer Theorie)
  5. \forall g \in \mathcal{G} : A,B, C \not\in g

Behauptung

Je zwei der drei Punkte \ A, B, C sind nicht identisch.

Andere Formulierungen:

  1. \ A \not\equiv B \not\equiv C \not\equiv A (Überlegen Sie, warum einer der drei Punkte hier zweimal genannt werden muss.)
  2. \forall X, Y \in \mathcal{M} : X \not\equiv Y (\mathcal{M} sei die Menge der Punkte \ A, B, C)
  3. \neg \exist X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y

Negation der Behauptung

Zwei der Punkte \ A, B, C sind identisch.

Andere Formulierungen:

  1. \ A \equiv B \or B \equiv C \or C \equiv A (Überlegen Sie, warum hier \ A \equiv B \equiv C enthalten ist.
  2. \neg \forall X, Y \in \mathcal{M} : X \not\equiv Y
  3. \exist X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y

(3) noch mal in Worten:
Es gibt zwei Punkte aus der Menge der Punkte \ A, B, C, die identisch sind.

Annahme für den indirekten Beweis

Es gibt zwei Punkte aus der Menge der Punkte \ A, B, C, die identisch sind.

O.B.d.A. seien dieses die beiden Punkte \ A und \ B.

also Annahme:
\ A \equiv B

Beweis

Fall 1

(*)\ B \not\equiv C

Nr. Beweisschritt Begründung
(i)
\ A \equiv B 		Annahme
(ii) \exist g \in \mathcal{G}: B, C \in g Axiom I.1 und (*)
(iii) \ A \in g (i) und (ii)
(iv) \operatorname{Koll} \left( A, B, C \right) (ii) und (iii)

Fall 2

(**)\ B \equiv C, also \ A \equiv B \equiv C

Nr. Beweisschritt Begründung
(o) \exist P : P \not\equiv A Axiom I.3
(i)
\ A \equiv B \equiv C 		Annahme (**)
(ii) \exist g \in \mathcal{G}: A, P \in g Axiom I.1 und (i)
(iii) \ B, C \in g (i) und (ii)
(iv) \operatorname{Koll} \left( A, B, C \right) (ii) und (iii)

(iv) ist ein Widerspruch zur Voraussetzung \operatorname{nKoll} \left( A,B, C \right)

Die Annahme ist deshalb zu verwerfen.

Teilaufgabe 3

Kontraposition

Wenn nicht gilt: von drei Punkten sind je zwei nicht identisch, dann sind die drei Punkte nicht nicht kollinear.

Wir schmeißen die doppelten Verneinungen raus:

Wenn von drei Punkten zwei identisch sind, so sind die drei Punkte kollinear.

Teilaufgabe 4

Beweis der Kontraposition

Voraussetzung: Von drei Punkte \ A, B, C sind zwei identisch: o.B.d.A. \ A \equiv B

Behauptung: \operatorname{Koll} \left( A, B, C) \right)

Fall 1: \ B \not\equiv C

Fall 2: \ B \equiv C

Jetzt geht es weiter wie in den beiden Fällen des indirekten Beweises, ohne dass wir auf einen Widerspruch kommen.
Erkennen Sie den Zusammenhang zwischen dem indirekten Beweisen einer Implikation und dem Beweisen ihrer Kontraposition?

Teilaufgabe 5

Die Umkehrung des Satzes

Wenn drei Punkte paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.

Teilaufgabe 6

Gültigkeit der Umkehrung

Gilt natürlich nicht. Beweis???

vorangegangene Diskussion bzw. Lösungsvorschläge

1. Wenn A,B, C paarweise verschieden sind, dann sind die Punkte kollinear.
--> es müsste aber doch heißen: dann sind die Punkte NICHT kollinear. ALso so steht es doch auch in Satz 1 --DeFloGe 12:39, 17. Nov. 2010 (UTC) Stimmt. Habe ich was übersehen. Man soll halt nicht mehrere Sachen gleichzeitig machen--Sommer80 13:46, 17. Nov. 2010 (UTC)

2. Voraussetzung: A,B,C sind nicht kollinear

  Behauptung: A,B,C sind paarweise verschieden

  Annahme: A,B,C sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A A=B


     Beweisschritt                                    Begründung

   1. A=B                                               Annahme

   2. Durch A und C geht genau eine Gerade              Axiom I/1

   3. A,B,C sind kollinear                              1.), 2.)


     Widerspruch zur Voraussetzung, damit ist die Annahme zu verwerfen und die Behauptung stimmt

3. Sind die Punkte A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie kollinear.

4. Voraussetzung: A,B,C sind nicht paarweise verschieden

  Behauptung : A,B,C sind kollinear

     
  Wenn A=B gilt, dann folgt nach Axiom I/1 dass es genau eine Gerade gibt, die durch die Punkte A und C verläuft. Damit liegen   

  A,B,C auf einer Geraden. Die Punkte sind kollinear.


5. Sind die Punkte A,B,C paarweise verschieden, dann sind sie nicht kollinear

6. Nein die Umkehrung gilt nicht für den Fall, dass A Element von g, B Element von g, C Element von g mit A ungleich B ungleich C
--Sommer80 08:49, 17. Nov. 2010 (UTC)

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