Lösung von Aufg. 7.9: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | ::Wenn drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten. | ||
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+ | Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br /> | ||
+ | <u>'''Voraussetzungen:'''</u> | ||
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+ | ::es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math> | ||
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+ | <br /><math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> | ||
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+ | | <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math> | ||
+ | | (II), Def (Zwischenrelation) | ||
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+ | | zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen | ||
+ | <br /> Annahme: es gilt o.B.d.A. <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> und <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> | ||
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+ | | <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> | ||
+ | <br /><math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math> | ||
+ | | (IV), (Axiom II/3) | ||
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+ | | <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> | ||
+ | <br /><math>\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right| </math> | ||
+ | | rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(VII) | ||
+ | | <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| </math> | ||
+ | | (VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(VIII) | ||
+ | | <math>\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| </math> | ||
+ | | (VII), + <math>\left| BC \right|</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(IX) | ||
+ | | <math>\ 2 \left| BC \right| = 0 </math> | ||
+ | | (VIII), - <math>\left| AB \right|</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(X) | ||
+ | | Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind. | ||
+ | <br />--> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt. | ||
+ | | | ||
+ | |} | ||
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+ | ==vorangegangene Diskussion bzw. Lösungsvorschläge== | ||
<u>'''Satz:'''</u> | <u>'''Satz:'''</u> | ||
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen. | ::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen. | ||
Beweisen Sie diesen Satz.<br /> | Beweisen Sie diesen Satz.<br /> | ||
− | Vor: A ungleich B ungleich C ungleich A, koll(A,B,C)<br /> | + | <u>Vor</u>: A ungleich B ungleich C ungleich A, koll(A,B,C)<br /> |
− | Behauptung: Zw(A,B,C) oder Zw(A,C,B) oder Zw (B,A,C)<br /> | + | <u>Behauptung:</u> Zw(A,B,C) oder Zw(A,C,B) oder Zw (B,A,C)<br /> |
− | Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)<br /> | + | <u>Annahme</u>: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)<br /> |
− | 1) AB+BC=AC und AC+CB= | + | 1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und Axiom A/3<br /> |
− | 2) AB+BC+CB= | + | 2) /AB/+/BC/+/CB/=/AB/_____________________________Rechnen in R und 1)<br /> |
− | 3) AB+BC+BC= | + | 3) /AB/+/BC/+/BC/=/AB/____________________________Axiom A/2 und 2)<br /> |
− | 4) | + | 4) 2/BC/ =O_________________________________Rechnen in R und 3)<br /> |
5) B=C___________________________________4)<br /> | 5) B=C___________________________________4)<br /> | ||
− | 6) | + | 6) Widerspruch zur Vor.<br /> |
7) Annahme ist zu verwerfen<br /> | 7) Annahme ist zu verwerfen<br /> | ||
8) Behauptung stimmt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 00:03, 25. Nov. 2010 (UTC) | 8) Behauptung stimmt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 00:03, 25. Nov. 2010 (UTC) | ||
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Aktuelle Version vom 9. Dezember 2010, 16:05 Uhr
Lösung --Schnirch 14:05, 9. Dez. 2010 (UTC)
Satz in wenn-dann:
- Wenn drei paarweise verschiedene Punkte
und
kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.
- Wenn drei paarweise verschiedene Punkte
Beweis
Es seien also und
drei Punkte.
Voraussetzungen:
koll( und
)
Behauptung
- es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen:
oder
oder
- es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen:
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | ![]() |
Voraussetzung |
(II) | es gilt eine der drei Gleichungen:
|
(I), Axiom II/3 |
(III) | ![]() ![]() ![]() |
(II), Def (Zwischenrelation) |
(IV) | zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
| |
(V) | ![]()
|
(IV), (Axiom II/3) |
(VI) | ![]()
|
rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2) |
(VII) | ![]() |
(VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen |
(VIII) | ![]() |
(VII), + ![]() |
(IX) | ![]() |
(VIII), - ![]() |
(X) | Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind.
|
vorangegangene Diskussion bzw. Lösungsvorschläge
Satz:
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten
und
ein und derselben Geraden
liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten
Beweisen Sie diesen Satz.
Vor: A ungleich B ungleich C ungleich A, koll(A,B,C)
Behauptung: Zw(A,B,C) oder Zw(A,C,B) oder Zw (B,A,C)
Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)
1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und Axiom A/3
2) /AB/+/BC/+/CB/=/AB/_____________________________Rechnen in R und 1)
3) /AB/+/BC/+/BC/=/AB/____________________________Axiom A/2 und 2)
4) 2/BC/ =O_________________________________Rechnen in R und 3)
5) B=C___________________________________4)
6) Widerspruch zur Vor.
7) Annahme ist zu verwerfen
8) Behauptung stimmt--Engel82 00:03, 25. Nov. 2010 (UTC)