Lösung von Aufg. 7.9

Lösung --Schnirch 14:05, 9. Dez. 2010 (UTC)

Satz in wenn-dann:

Wenn drei paarweise verschiedene Punkte $\ A, B$ und $\ C$ kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.

Beweis

Es seien also $\ A, B$ und $\ C$ drei Punkte.
Voraussetzungen: koll($\ A, B$ und $\ C$)

Behauptung

es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: $\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}$	Voraussetzung
(II)	es gilt eine der drei Gleichungen: $\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ $\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$ $\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|$	(I), Axiom II/3
(III)	$\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}$	(II), Def (Zwischenrelation)
(IV)	zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen Annahme: es gilt o.B.d.A. $\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ und $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$
(V)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ $\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$	(IV), (Axiom II/3)
(VI)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ $\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right|$	rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
(VII)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right|$	(VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
(VIII)	$\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right|$	(VII), + $\left| BC \right|$
(IX)	$\ 2 \left| BC \right| = 0$	(VIII), - $\left| AB \right|$
(X)	Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind. --> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.

vorangegangene Diskussion bzw. Lösungsvorschläge

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.

Vor: A ungleich B ungleich C ungleich A, koll(A,B,C)
Behauptung: Zw(A,B,C) oder Zw(A,C,B) oder Zw (B,A,C)

Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)

1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und Axiom A/3
2) /AB/+/BC/+/CB/=/AB/_____________________________Rechnen in R und 1)
3) /AB/+/BC/+/BC/=/AB/____________________________Axiom A/2 und 2)
4) 2/BC/ =O_________________________________Rechnen in R und 3)
5) B=C___________________________________4)
6) Widerspruch zur Vor.
7) Annahme ist zu verwerfen
8) Behauptung stimmt--Engel82 00:03, 25. Nov. 2010 (UTC)