Lösung von Aufg. 7.9: Unterschied zwischen den Versionen

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== Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:05, 9. Dez. 2010 (UTC) ==
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<u>'''Satz in ''wenn-dann'':'''</u><br />
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::Wenn drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.
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<u>'''Beweis'''</u><br />
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Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br />
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<u>'''Voraussetzungen:'''</u>
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koll(<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math>)
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<u>'''Behauptung'''</u><br />
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::es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
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| <math>\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}</math>
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| es gilt eine der drei Gleichungen:
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<br /><math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
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<br /><math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
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| (I), Axiom II/3
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| <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
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| (II), Def (Zwischenrelation)
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| zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
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<br /> Annahme: es gilt o.B.d.A. <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> und <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math>
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| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
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| (IV), (Axiom II/3)
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| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
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| rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
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| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| </math>
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| (VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
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| <math>\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| </math>
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| (VII), + <math>\left| BC \right|</math>
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| <math>\ 2 \left| BC \right| = 0 </math>
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| (VIII), - <math>\left| AB \right|</math>
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| Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind.
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<br />--> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.
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==vorangegangene Diskussion bzw. Lösungsvorschläge==
 
<u>'''Satz:'''</u>
 
<u>'''Satz:'''</u>
 
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
 
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
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<u>Annahme</u>: o.B.d.A Zw(A,B,C) und  Zw(A,C,B)<br />
 
<u>Annahme</u>: o.B.d.A Zw(A,B,C) und  Zw(A,C,B)<br />
  
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1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und Def. Zw<br />
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1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und Axiom A/3<br />
 
2) /AB/+/BC/+/CB/=/AB/_____________________________Rechnen in R und 1)<br />
 
2) /AB/+/BC/+/CB/=/AB/_____________________________Rechnen in R und 1)<br />
 
3) /AB/+/BC/+/BC/=/AB/____________________________Axiom A/2 und 2)<br />
 
3) /AB/+/BC/+/BC/=/AB/____________________________Axiom A/2 und 2)<br />

Aktuelle Version vom 9. Dezember 2010, 15:05 Uhr

Lösung --Schnirch 14:05, 9. Dez. 2010 (UTC)

Satz in wenn-dann:

Wenn drei paarweise verschiedene Punkte \ A, B und \ C kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.

Beweis

Es seien also \ A, B und \ C drei Punkte.
Voraussetzungen: koll(\ A, B und \ C)


Behauptung

es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: \operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} oder \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \} oder \operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}
Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \} Voraussetzung
(II) es gilt eine der drei Gleichungen:


\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|
\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|
\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|

(I), Axiom II/3
(III) \operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} oder \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \} oder \operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \} (II), Def (Zwischenrelation)
(IV) zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen


Annahme: es gilt o.B.d.A. \operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} und \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}

(V) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|


\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|

(IV), (Axiom II/3)
(VI) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|


\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right|

rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
(VII) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| (VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
(VIII) \left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| (VII), + \left| BC \right|
(IX) \ 2 \left| BC \right| = 0 (VIII), - \left| AB \right|
(X) Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind.


--> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.

vorangegangene Diskussion bzw. Lösungsvorschläge

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten \ A, B und \ C ein und derselben Geraden \ g liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.

Vor: A ungleich B ungleich C ungleich A, koll(A,B,C)
Behauptung: Zw(A,B,C) oder Zw(A,C,B) oder Zw (B,A,C)

Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)

1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und Axiom A/3
2) /AB/+/BC/+/CB/=/AB/_____________________________Rechnen in R und 1)
3) /AB/+/BC/+/BC/=/AB/____________________________Axiom A/2 und 2)
4) 2/BC/ =O_________________________________Rechnen in R und 3)
5) B=C___________________________________4)
6) Widerspruch zur Vor.
7) Annahme ist zu verwerfen
8) Behauptung stimmt--Engel82 00:03, 25. Nov. 2010 (UTC)

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