Projektionen und Strahlensätze 2010: Unterschied zwischen den Versionen

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Wie wäre es damit:
 
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====Definition II.03: (Richtung) =====
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====Definition II.03: (Richtung) ====
 
::Eine Richtung ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation "parallel" auf der Menge aller Geraden.
 
::Eine Richtung ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation "parallel" auf der Menge aller Geraden.
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====Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)====
 
====Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)====
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:: Es sei <math>\ \beta</math> eine Ebene des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> und <math>\mathcal{R}</math> eine Richtung mit <math>\neg \exist g: g \subset \mathcal{R} \and g \subset \beta</math>.
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::Unter der Parallelprojektion des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> auf die Bildebene <math>\ \beta</math> mit der Projektionsrichtung <math>\mathcal{R}</math> versteht man die Abbildung von <math>\mathfrak{R}</math> auf <math>\ \beta</math>, die jedem Punkt <math>\ P \in \mathfrak{R}</math> derart auf sein Bild <math>\ P'</math> abbildet, dass gilt:
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::<math>\left\{ P' \right\}=g \cap \beta</math> mit <math>g \in \mathcal{R} \and P \in g</math>--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:50, 18. Jan. 2011 (UTC)
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====Definition II.05: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)====
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::Es sei <math>\ b</math> eine Gerade der Ebene <math>\mathfrak{E}</math> und <math>\mathcal{R}</math> eine Richtung in <math>\mathfrak{E}</math> mit <math>b \not\in \mathcal{R}</math>.
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::Unter der Parallelprojektion der Ebene <math>\mathfrak{E}</math> auf die Bildgerade <math>\ b</math> versteht man die Abbildung, die jeden Punkt <math>\ P \in \mathfrak{E}</math> derart auf sein Bild <math>\ P'</math> abbildet, dass gilt:
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::<math>\left\{ P' \right\}= g \cap b</math> mit <math>g \in \mathcal{R} \and P \in g</math>.
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::In Zeichen: <math>\ PP_{\mathcal{R}, b}</math>
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<ggb_applet width="892" height="480"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
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====Satz II.01: (Fixpunkte bei Parallelprojektionen) ====
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::Es sei <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade <math>\ b</math>. Jeder Punkt der Bildgeraden <math>\ b</math> ist bezüglich <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>ein Fixpunkt.
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=== Satz von der Mittelparallelen im Dreieck ===
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<ggb_applet width="1029" height="499"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
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:: Es sei <math>\ \beta</math> eine Ebene des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> und <math>\ g</math> eine Gerade aus <math>\mathfrak{R}</math> mit <math>\ \ g \not\|\mathfrak{R}</math>.<br /> Die Parellelenprojektion <math>\ PP_{g,\beta}</math> ist eine Abbildung von <math>\mathfrak{R}</math> auf die Ebene <math>\ \beta</math> mit:<br /><math>\forall A \in \mathfrak{R}: \exists h: A \in h \land h \| g: PP_{g,\beta}(A)=h \cap \beta</math>
 
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::Die Ebene <math>\ \beta</math> heißt Bildebene bei der Parallelenprojektion <math>\ PP_{g,\beta}</math> und die Gerade  <math>\ g</math> heißt eine Repräsentantengerade (?? keine Ahnung, wie man die nennen könnte bzw. ob man üblicherweise überhaupt eine Gerade zum Definineren nutzt?) der <math>\ PP_{g,\beta}</math>.--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 17:13, 16. Jan. 2011 (UTC)
 
  
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====Definition II.04: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)====
 
  
 
[[Category:Elementargeometrie]]
 
[[Category:Elementargeometrie]]

Aktuelle Version vom 20. Januar 2011, 12:51 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Zentralprojektionen

Wie kommt Lara Croft auf den Bildschirm?

Zentralperspektive zeichnen.png 358durer.jpg

Begriff der Zentralprojektion

Definition II.01: (Zentralprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei \ \beta eine Ebene des Raumes \mathfrak{R} und \ Z ein Punkt aus \mathfrak{R} der nicht zu \ \beta gehört.
Die Zentralprojektion \ ZP_{Z,\beta} ist eine Abbildung von \mathfrak{R}\setminus{Z} auf die Ebene \ \beta mit:
\forall P \in \mathfrak{R}\setminus{Z}: ZP_{Z,\beta}(P)=ZP \cap \beta
Die Ebene \ \beta heißt Bildebene bei der Zentralprojektion \ ZP_{Z,\beta} und der Punkt \ Z Zentralpunkt der \ ZP_{Z,\beta}.

Definition II.02: (Zentralprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Versuchen Sie es selbst.
Es sei \ g eine Gerade der Ebene \beta und \ Z ein Punkt aus \beta der nicht zu \ g gehört.
Die Zentralprojektion \ ZP_{Z,g} ist eine Abbildung von \beta\setminus{Z} auf die Gerade \ g mit:
\forall P \in \beta\setminus{Z}: ZP_{Z,g}(P)=ZP \cap g
Die Gerade \ g heißt Bildgerade bei der Zentralprojektion \ ZP_{Z,g} und der Punkt \ Z Zentralpunkt der \ ZP_{Z,g}.
--Tja??? 10:47, 13. Jan. 2011 (UTC)

korrekt, --*m.g.* 15:54, 13. Jan. 2011 (UTC) Wie wäre es damit:

Definition II.03: (Richtung)

Eine Richtung ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation "parallel" auf der Menge aller Geraden.

Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei \ \beta eine Ebene des Raumes \mathfrak{R} und \mathcal{R} eine Richtung mit \neg \exist g: g \subset \mathcal{R} \and g \subset \beta.
Unter der Parallelprojektion des Raumes \mathfrak{R} auf die Bildebene \ \beta mit der Projektionsrichtung \mathcal{R} versteht man die Abbildung von \mathfrak{R} auf \ \beta, die jedem Punkt \ P \in \mathfrak{R} derart auf sein Bild \ P' abbildet, dass gilt:
\left\{ P' \right\}=g \cap \beta mit g \in \mathcal{R} \and P \in g--*m.g.* 14:50, 18. Jan. 2011 (UTC)

alte Version von Tja in der Diskussion.

Definition II.05: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Es sei \ b eine Gerade der Ebene \mathfrak{E} und \mathcal{R} eine Richtung in \mathfrak{E} mit b \not\in \mathcal{R}.
Unter der Parallelprojektion der Ebene \mathfrak{E} auf die Bildgerade \ b versteht man die Abbildung, die jeden Punkt \ P \in \mathfrak{E} derart auf sein Bild \ P' abbildet, dass gilt:
\left\{ P' \right\}= g \cap b mit g \in \mathcal{R} \and P \in g.
In Zeichen: \ PP_{\mathcal{R}, b}

Satz II.01: (Fixpunkte bei Parallelprojektionen)

Es sei \ PP_{\mathcal{R}, b} eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade \ b. Jeder Punkt der Bildgeraden \ b ist bezüglich \ PP_{\mathcal{R}, b} ein Fixpunkt.

Satz von der Mittelparallelen im Dreieck

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