Lösung von Aufg. 9.3 (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen

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| 2 || <math>\forall X \in  M : X \in AQ</math> || Axiom I.2, (1)
 
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| 3 || |AX| + |XQ| = |AQ| => <math>X \in \overline{AQ} \\{A, Q}</math> || Def. Zwischenrelation, Voraussetzung
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| 3 || |AX| + |XQ| = |AQ| => <math>X \in \overline{AQ}</math> \ <math>\lbrace A, Q\rbrace </math> || Def. Zwischenrelation, Voraussetzung
 
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| 4 || |AQ| + |QX| = |AX| => <math>\exists AX</math>  || Def. Zwischenrelation, Voraussetzung
 
| 4 || |AQ| + |QX| = |AX| => <math>\exists AX</math>  || Def. Zwischenrelation, Voraussetzung
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In Beweisschritt 2 schauts da allerdings etwas anders aus:
 
In Beweisschritt 2 schauts da allerdings etwas anders aus:
 
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Beweis
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Beweis: "<="
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Voraussetzung: <math>\ X \in M: \lbrace X \in AQ | \operatorname(Zw) (A, X, Q)\rbrace  \cup \lbrace X \in AQ | \operatorname(Zw) (A, Q, X)\rbrace \cup \lbrace  A, Q \rbrace </math>
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Behauptung: <math>\ X \in \{P \in AQ|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in  \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace </math>
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{| class="wikitable"
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| 1 || <math>\exists d: d=\overline{AQ}</math> || Axiom III.1, Vor.
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| 2 || <math>\exists d0: d0 < d</math> || Rechnen in R, (1)
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| 3 || <math>\exists d2: d2 > d</math> || Rechnen in R, (1)
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| 4 || <math>\exists X \in \ QA^{+}: |QX| = d0</math> || Axiom vom Lineal, (2)
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| 5 || Zw(A, X, Q) || (4), Hilfssatz I
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| 6 || Sei Z ein Punkt der Geraden AQ für den gilt: Zw(A, Q, Z) <math>\exists X \in \ QZ^{+}: |QX| = d0 \wedge |QX| = d \wedge |QX| = d2 </math> || Axiom vom Lineal, (1), (2), (3)
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| 7 || |AQ| + |QX| = |AX| => Zw(A, Q, X)|| (6), Def. Zwischenrelation
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| 8 || Für d0=0 gilt: X = Q || Axiom II.1, (2)
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| 9 || Für <math>\ X \in \{P \in AQ|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in  \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace </math> gilt: <math>\ X \in M</math> || (5), (7), (8)
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Punkt Z wird aus dem Axiom vom Lineal generiert, das habe ich aber nicht mehr extra hingeschrieben, das ist trivial, denke ich.
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Hilfssatz I: Für |QX| = d0 gilt für QA^{+}: Zw(A, X, Q)
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Annahme: Zw(X, A, Q)
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| a || |XA| + |AQ| = |XQ| || Annahme
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| b || |XA| + d = d0 || (a), (1), (4)
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| c || Annahme ist zu verwerfen wg. Nichtlösbarkeit der Aufgabe || (b)
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[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]
 
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Version vom 11. Juni 2011, 22:40 Uhr

Definieren Sie noch einmal die Begriffe Halbgerade \ AQ^{+} und \ AQ^{-}. In diesen neuen Definitionen dürfen Sie die Zwischenrelation nicht explizit verwenden. Beweisen Sie dann, dass Ihre neuen Definitionen zur | Definition II.5 äquivalent sind.

Wie die neue Definition heißt, haben wir in der Übung bespochen. Aus Zeitgründen dann jedoch die Auflösung des Beweises der Äquivalenz auf einen anderen Termin verschoben (durchaus verständlich). Ich möchte mich hier mal versuchen und eine Beweismöglichkeit darstellen. Vllt. kann ja der eine und der ander und die eine und die andere seinen/ihren Senf dazugeben.
Defininition \ AQ^{+} nach II.5 (im folgenden als DefA für Definition alt): \ AB^{+}: = \lbrace P \in AQ | \operatorname(Zw) (A, P, Q)\rbrace \cup \lbrace P \in AQ | \operatorname(Zw) (A, Q, P)\rbrace \cup \lbrace A, Q \rbrace
Defininition \ AQ^{+} neu (im folgenden als DefN für Definition neu): \ AQ := \{P \in AQ|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace

Beweis über zwei Schritte: Schritt 1: "=>" Schritt 2: "<="
Es sei aufgrund der einfacheren Bearbeitung (man spart sich einen ganzen Beweisschritt) folgender Fall vorweggeschickt, der für bei Seiten gilt, wegen der Reflexivität der "="-Relation:

Voraussetzung: \ X \in M: \lbrace X \in AQ | \operatorname(Zw) (A, X, Q)\rbrace \cup \lbrace X \in AQ | \operatorname(Zw) (A, Q, X)\rbrace \cup \lbrace A, Q \rbrace
Behauptung: \ X \in \{P \in AQ|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace

Fall 1: X = A => Da A in beiden Fällen als einzelne Menge vereinigt wird ist dieser Fall trivial.
Fall 2 X \neq A

Beweis "=>"

1 Es gilt: koll(A, Q, X) Voraussetzung, Zwischenrelationdefinition
2 \forall X \in M : X \in AQ Axiom I.2, (1)
3 AX| + |XQ| = |AQ| => X \in \overline{AQ} \ \lbrace A, Q\rbrace Def. Zwischenrelation, Voraussetzung
4 AQ| + |QX| = |AX| => \exists AX Def. Zwischenrelation, Voraussetzung
5 \forall X: X \in QX \wedge X \in AQ (1), (2), (3), (4)
6 wg. X \neq A: A \not\in QX (5)
7 \ X \in \{P \in AQ|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace (6)


Irgendwie schaut das noch wie ein riesengroßes gewurschtel aus und sicher bin ich mir keineswegs.
In Beweisschritt 2 schauts da allerdings etwas anders aus:
Beweis: "<="
Voraussetzung: \ X \in M: \lbrace X \in AQ | \operatorname(Zw) (A, X, Q)\rbrace \cup \lbrace X \in AQ | \operatorname(Zw) (A, Q, X)\rbrace \cup \lbrace A, Q \rbrace
Behauptung: \ X \in \{P \in AQ|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace

1 \exists d: d=\overline{AQ} Axiom III.1, Vor.
2 \exists d0: d0 < d Rechnen in R, (1)
3 \exists d2: d2 > d Rechnen in R, (1)
4 \exists X \in \ QA^{+}: |QX| = d0 Axiom vom Lineal, (2)
5 Zw(A, X, Q) (4), Hilfssatz I
6 Sei Z ein Punkt der Geraden AQ für den gilt: Zw(A, Q, Z) \exists X \in \ QZ^{+}: |QX| = d0 \wedge |QX| = d \wedge |QX| = d2 Axiom vom Lineal, (1), (2), (3)
7 AQ| + |QX| = |AX| => Zw(A, Q, X) (6), Def. Zwischenrelation
8 Für d0=0 gilt: X = Q Axiom II.1, (2)
9 Für \ X \in \{P \in AQ|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace gilt: \ X \in M (5), (7), (8)



Punkt Z wird aus dem Axiom vom Lineal generiert, das habe ich aber nicht mehr extra hingeschrieben, das ist trivial, denke ich.

Hilfssatz I: Für |QX| = d0 gilt für QA^{+}: Zw(A, X, Q)
Annahme: Zw(X, A, Q)

a XA| + |AQ| = |XQ| Annahme
b XA| + d = d0 (a), (1), (4)
c Annahme ist zu verwerfen wg. Nichtlösbarkeit der Aufgabe (b)

--Flo60 23:40, 11. Jun. 2011 (CEST)

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