Geradenspiegelungen (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 27. Oktober 2011, 12:50 Uhr

Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung

Idee der Symmetrie

Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels

Falten

Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $\ g$

Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung

Übungsaufgabe:

Es sei $\ P$ ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden $\ g$ dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von $\ P$ bei der Spiegelung an $\ g$ . Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei der Spiegelung aneiner Geraden $\ g$
$(P \notin g)$
Nr.	Beschreibung des Schrittes	Genauere Beschreibung	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	...	...	...
2.	...	...	...
3.	...	...	...

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit, desjeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.--*m.g.* 13:10, 27. Okt. 2011 (CEST)

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $\ g$ )

Es sei $\ g$ eine Gerade. Unter der Spiegelung $\ S_g$ an der Geraden $g$ versteht man eine ....

Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung

Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)

Jede Geradenspiegelung $\ S_g$ ist eine abstandserhaltende Abbildung.

Beweis von Satz 2.1:

Es seien $\ A$ , $\ B$ zwei Punkte, die an einer Geraden $\ g$ auf ihre Bilder $\ A'$ und $\ B'$ gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

Fall 1

$\ A, B$ $\in$ $\ g$

Beweis:

Fall 2

$\ A$ $\in$ $\ g$ , $\ B$ $\notin$ $\ g$

Beweis:
Den Schnittpunkt von $\overline {BB'}$ mit $\ g$ bezeichnen wir mit $\ L$

Fall 3

$\ A, B$ $\notin$ $\ g$ , $A$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bezüglich $g$

Beweis:

Fall 4

$\ A, B$ $\notin$ $\ g$ , $A$ und $B$ liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich $g$

Beweis:

Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen

Bestimmung über die Spiegelgerade

Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:

Satz 2.2

Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegeleachse eindeutig bestimmt.

Satz 2.3

Eine Geradenspiegelung $\ S$ ist durch die Angabe eines Punktes $\ P$ und dem Bild von $\ S(P)$ eindeutig bestimmt, falls $\ P \not= S(P)$ gilt.

Dieser Satz gilt, da nach Definition Geradenspiegelung die Spiegelgerade s die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline PS(P)$ ist und diese Mittelsenkrechte exisitert und eindeutig ist. --Tja??? 16:40, 2. Nov. 2010 (UTC)

@@ Zeile 99: / Zeile 99: @@
 ==== Satz 2.2 ====
 :: Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegeleachse eindeutig bestimmt.
-====Möglicher Beweis von Satz 2.2====
-.(es gibt mindestens eine)
-::
-Es sei eine Gerade g und ein Punkt P nicht Є g. Ich konstruiere P´ dermaßen, dass gilt: g ist Mittelsenkrechte von |PP´|. Nach Def. ist dies eine Geradenspiegelung an g.
-::Damit ist die Existenz bewiesen.
-::
-::
-. (es gibt höchstens eine)
-::
-Um zu zeigen dass es nicht mehr Geradenspiegelungen geben kann, nehme ich an, dass es mindestens zwei Geradenspiegelungen an einer Geraden gibt.
-::
-So konstruiere ich also P´´ so, dass g die Mittelsenkrechte von |P´P´´| ist (dies möge auf dem Bild so sein).
-<ggb_applet width="247" height="280"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
-::
-Bleibt also z.z.: P = P´´
-::
-Kann ich das zeigen bin ich fertig, denn dann habe ich wieder die Identität und das "Spiegelspielchen" könnte von neuem beginnen.
-Also nehme ich an: P ≠P``
-::
-Es möge gelten: |PP´| ∩ g = Q und |P`P``| ∩ g = R
-::
-Ich betrachte das Dreieck ∆P´QR:
-::
-Es gilt also nach Konstruktion (Ich geh einfach mal davon aus ich könnte so etwas konstruieren) bzw. Def. Spiegelung an einer Geraden: |<P´QR = <P`RQ = 90°|(Wiederspruch zum Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck)
-::
-Also ist P = P´´.
-::Damit ist bewiesen, dass es nicht mehr als eine Spiegelung geben kann. --[[Benutzer:Shaun15|Shaun15]] 23:23, 2. Nov. 2010 (UTC)
 ==== Satz 2.3 ====

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Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung

Idee der Symmetrie

Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels

Falten

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $\ g$

Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung

Übungsaufgabe:

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $\ g$ )

Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung

Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)

Beweis von Satz 2.1:

Fall 1

Fall 2

Fall 3

Fall 4

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Bestimmung über die Spiegelgerade

Satz 2.2

Satz 2.3

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Fall 1

Fall 2

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