Zentralprojektion, Parallelprojektion (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen
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====Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)==== | ====Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)==== | ||
− | :: Es sei <math>\ \beta</math> eine Ebene des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> und <math>\mathcal{R}</math> eine Richtung mit <math>\neg \exist g: g \subset \mathcal{R} \ | + | :: Es sei <math>\ \beta</math> eine Ebene des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> und <math>\mathcal{R}</math> eine Richtung mit <math>\neg \exist g: g \subset \mathcal{R} \wedge g \subset \beta</math>. |
::Unter der Parallelprojektion des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> auf die Bildebene <math>\ \beta</math> mit der Projektionsrichtung <math>\mathcal{R}</math> versteht man die Abbildung von <math>\mathfrak{R}</math> auf <math>\ \beta</math>, die jedem Punkt <math>\ P \in \mathfrak{R}</math> derart auf sein Bild <math>\ P'</math> abbildet, dass gilt: | ::Unter der Parallelprojektion des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> auf die Bildebene <math>\ \beta</math> mit der Projektionsrichtung <math>\mathcal{R}</math> versteht man die Abbildung von <math>\mathfrak{R}</math> auf <math>\ \beta</math>, die jedem Punkt <math>\ P \in \mathfrak{R}</math> derart auf sein Bild <math>\ P'</math> abbildet, dass gilt: | ||
− | ::<math>\left\{ P' \right\}=g \cap \beta</math> mit <math>g \in \mathcal{R} \ | + | ::<math>\left\{ P' \right\}=g \cap \beta</math> mit <math>g \in \mathcal{R} \wedge P \in g</math> |
====Definition II.05: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)==== | ====Definition II.05: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)==== | ||
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::Unter der Parallelprojektion der Ebene <math>\mathfrak{E}</math> auf die Bildgerade <math>\ b</math> versteht man die Abbildung, die jeden Punkt <math>\ P \in \mathfrak{E}</math> derart auf sein Bild <math>\ P'</math> abbildet, dass gilt: | ::Unter der Parallelprojektion der Ebene <math>\mathfrak{E}</math> auf die Bildgerade <math>\ b</math> versteht man die Abbildung, die jeden Punkt <math>\ P \in \mathfrak{E}</math> derart auf sein Bild <math>\ P'</math> abbildet, dass gilt: | ||
− | ::<math>\left\{ P' \right\}= g \cap b</math> mit <math>g \in \mathcal{R} \ | + | ::<math>\left\{ P' \right\}= g \cap b</math> mit <math>g \in \mathcal{R} \wedge P \in g</math>. |
::In Zeichen: <math>\ PP_{\mathcal{R}, b}</math> | ::In Zeichen: <math>\ PP_{\mathcal{R}, b}</math> | ||
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+ | |||
====Satz II.01: (Fixpunkte bei Parallelprojektionen) ==== | ====Satz II.01: (Fixpunkte bei Parallelprojektionen) ==== | ||
::Es sei <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade <math>\ b</math>. Jeder Punkt der Bildgeraden <math>\ b</math> ist bezüglich <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>ein Fixpunkt. | ::Es sei <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade <math>\ b</math>. Jeder Punkt der Bildgeraden <math>\ b</math> ist bezüglich <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>ein Fixpunkt. | ||
− | === Satz von der Mittelparallelen im Dreieck === | + | === Satz II.02: Satz von der Mittelparallelen im Dreieck === |
+ | ::Es sei <math>\overline{ABC}</math> eine Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ferner seien <math>M_a</math> und <math>M_b</math> die Mittelpunkte der Seiten <math>a</math> bzw. <math>b</math> des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. Dann gilt: <br /> | ||
+ | ::(I) <math>M_aM_b \|| AB</math><br /> | ||
+ | ::(II) <math>\left|M_aM_b \right| =\frac{\left|AB\right|}{2}</math> | ||
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− | + | ===Satz II.03: Projektionssatz=== | |
− | + | ::Es sei <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math> eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade <math>g</math>. Die Gerade<math>a</math> möge <math>g</math> in <math>P_0</math> und nur in <math>P_0</math> schneiden. <math>P_1, P_2, P_3, ..., P_n</math>sei eine Folge von Punkten auf <math>a</math> mit <math>\left|P_0P_1\right|=\left|P_1P_2\right|=\left|P_2P_3\right|=...=\left|P_{n-1}P_n\right|</math>. <math>P'_1, P'_2, P'_3, ..., P'_n</math> seiene die Bilder von <math>P_1, P_2, P_3, ..., P_n</math> bei <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>.<br /> | |
− | + | ::Dann gilt: <math>\left|P_0P'_1\right|=\left|P'_1P'_2\right|=\left|P'_2P'_3\right|=...=\left|P'_{n-1}P'_n\right|</math>. | |
− | + | <ggb_applet width="835" height="535" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> | |
− | + | ===Beweisidee=== | |
− | + | Zeigen, dass die blauen Dreiecke zueinander kongruent sind. | |
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Aktuelle Version vom 16. Januar 2012, 11:33 Uhr
Zentralprojektionen
Wie kommt Lara Croft auf den Bildschirm?
Begriff der Zentralprojektion
Definition II.01: (Zentralprojektion des Raumes auf eine Ebene)
- Es sei eine Ebene des Raumes und ein Punkt aus der nicht zu gehört.
Die Zentralprojektion ist eine Abbildung von auf die Ebene mit:
- Die Ebene heißt Bildebene bei der Zentralprojektion und der Punkt Zentralpunkt der .
- Es sei eine Ebene des Raumes und ein Punkt aus der nicht zu gehört.
Definition II.02: (Zentralprojektion der Ebene auf eine Gerade)
- Versuchen Sie es selbst.
- Versuchen Sie es selbst.
Definition II.03: (Richtung)
- Eine Richtung ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation "parallel" auf der Menge aller Geraden.
Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)
- Es sei eine Ebene des Raumes und eine Richtung mit .
- Unter der Parallelprojektion des Raumes auf die Bildebene mit der Projektionsrichtung versteht man die Abbildung von auf , die jedem Punkt derart auf sein Bild abbildet, dass gilt:
- mit
Definition II.05: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)
- Es sei eine Gerade der Ebene und eine Richtung in mit .
- Unter der Parallelprojektion der Ebene auf die Bildgerade versteht man die Abbildung, die jeden Punkt derart auf sein Bild abbildet, dass gilt:
- mit .
- In Zeichen:
Satz II.01: (Fixpunkte bei Parallelprojektionen)
- Es sei eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade . Jeder Punkt der Bildgeraden ist bezüglich ein Fixpunkt.
Satz II.02: Satz von der Mittelparallelen im Dreieck
- Es sei eine Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ferner seien und die Mittelpunkte der Seiten bzw. des Dreiecks . Dann gilt:
- (I)
- (II)
- Es sei eine Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ferner seien und die Mittelpunkte der Seiten bzw. des Dreiecks . Dann gilt:
Satz II.03: Projektionssatz
- Es sei eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade . Die Gerade möge in und nur in schneiden. sei eine Folge von Punkten auf mit . seiene die Bilder von bei .
- Dann gilt: .
- Es sei eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade . Die Gerade möge in und nur in schneiden. sei eine Folge von Punkten auf mit . seiene die Bilder von bei .
Beweisidee
Zeigen, dass die blauen Dreiecke zueinander kongruent sind.