Zentralprojektion, Parallelprojektion (2011/12)

Zentralprojektionen

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Begriff der Zentralprojektion

Definition II.01: (Zentralprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei $\ \beta$ eine Ebene des Raumes $\mathfrak{R}$ und $\ Z$ ein Punkt aus $\mathfrak{R}$ der nicht zu $\ \beta$ gehört.
Die Zentralprojektion $\ ZP_{Z,\beta}$ ist eine Abbildung von $\mathfrak{R}\setminus{Z}$ auf die Ebene $\ \beta$ mit:
$\forall P \in \mathfrak{R}\setminus{Z}: ZP_{Z,\beta}(P)=ZP \cap \beta$

Die Ebene $\ \beta$ heißt Bildebene bei der Zentralprojektion $\ ZP_{Z,\beta}$ und der Punkt $\ Z$ Zentralpunkt der $\ ZP_{Z,\beta}$.

Definition II.02: (Zentralprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Versuchen Sie es selbst.

Definition II.03: (Richtung)

Eine Richtung ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation "parallel" auf der Menge aller Geraden.

Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei $\ \beta$ eine Ebene des Raumes $\mathfrak{R}$ und $\mathcal{R}$ eine Richtung mit $\neg \exist g: g \subset \mathcal{R} \wedge g \subset \beta$.

Unter der Parallelprojektion des Raumes $\mathfrak{R}$ auf die Bildebene $\ \beta$ mit der Projektionsrichtung $\mathcal{R}$ versteht man die Abbildung von $\mathfrak{R}$ auf $\ \beta$, die jedem Punkt $\ P \in \mathfrak{R}$ derart auf sein Bild $\ P'$ abbildet, dass gilt:

$\left\{ P' \right\}=g \cap \beta$ mit $g \in \mathcal{R} \wedge P \in g$

Definition II.05: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Es sei $\ b$ eine Gerade der Ebene $\mathfrak{E}$ und $\mathcal{R}$ eine Richtung in $\mathfrak{E}$ mit $b \not\in \mathcal{R}$.

Unter der Parallelprojektion der Ebene $\mathfrak{E}$ auf die Bildgerade $\ b$ versteht man die Abbildung, die jeden Punkt $\ P \in \mathfrak{E}$ derart auf sein Bild $\ P'$ abbildet, dass gilt:

$\left\{ P' \right\}= g \cap b$ mit $g \in \mathcal{R} \wedge P \in g$.

In Zeichen: $\ PP_{\mathcal{R}, b}$

Satz II.01: (Fixpunkte bei Parallelprojektionen)

Es sei $\ PP_{\mathcal{R}, b}$eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade $\ b$. Jeder Punkt der Bildgeraden $\ b$ ist bezüglich $\ PP_{\mathcal{R}, b}$ein Fixpunkt.

Satz II.02: Satz von der Mittelparallelen im Dreieck

Es sei $\overline{ABC}$ eine Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ferner seien $M_a$ und $M_b$ die Mittelpunkte der Seiten $a$ bzw. $b$ des Dreiecks $\overline{ABC}$. Dann gilt:

(I) $M_aM_b \|| AB$

(II) $\left|M_aM_b \right| =\frac{\left|AB\right|}{2}$

Satz II.03: Projektionssatz

Es sei $\ PP_{\mathcal{R}, b}$ eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade $g$. Die Gerade$a$ möge $g$ in $P_0$ und nur in $P_0$ schneiden. $P_1, P_2, P_3, ..., P_n$sei eine Folge von Punkten auf $a$ mit $\left|P_0P_1\right|=\left|P_1P_2\right|=\left|P_2P_3\right|=...=\left|P_{n-1}P_n\right|$. $P'_1, P'_2, P'_3, ..., P'_n$ seiene die Bilder von $P_1, P_2, P_3, ..., P_n$ bei $\ PP_{\mathcal{R}, b}$.

Dann gilt: $\left|P_0P'_1\right|=\left|P'_1P'_2\right|=\left|P'_2P'_3\right|=...=\left|P'_{n-1}P'_n\right|$.

Beweisidee

Zeigen, dass die blauen Dreiecke zueinander kongruent sind.