Zentrische Streckungen (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

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==Begriff der zentrischen Streckung==
 
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===Definition II.05: (zentrische Streckung)===
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::Es sei <math>Z</math> ein beliebig aber fest gewählter Punkt der Ebene. Ferner sei <math>k \in \mathbb{R} \setminus {0}</math>k
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::Es sei <math>Z</math> ein beliebig aber fest gewählter Punkt der Ebene <math>\varepsilon</math>. Ferner sei <math>k \in \mathbb{R} \setminus\left{ 0 \right}</math>. Unter der zentrischen Streckung <math>ZS_{Z,k}</math>mit dem Streckzentrum <math>Z</math> und dem Streckfaktor <math>k</math> versteht man eine Abbildung von <math>\varepsilon</math> auf sich mit <math>\forall P \in \varepsilon : ZS_{Z,k} (P) = Z + k \vec{ZP} </math>.<br /><br />
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Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten von <math>k</math> und verschiedenen Positionen von <math>P</math> (Strg + f löscht die Spur):<br /><br />
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==Eigenschaften zentrischer Streckungen==
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===Satz II.08===
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::Eine zentrische Streckung <math>ZS_{Z,k}</math> ist genau dann die Identität, wenn <math>k=1</math> gilt.
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===Beweis von Satz II.08===
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::trivial, entsprechend der Definition II.07
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===Satz II.09===
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:: Es seien <math>A,B,C</math> drei Punkte und <math>A',B',C'</math> deren Bilder bei der zentrischen  Streckung <math>ZS_{Z,k}</math>.  Wenn <math>\operatorname{koll}(A,B,C)</math>, dann <math>\operatorname{koll}(A',B',C')</math>.
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===Beweis von Satz II.09===
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::Übungsaufgabe
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::Hinweise:
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::: (I) <math>\operatorname{koll}(A,B,C) \Leftrightarrow \operatorname{Zw}(A,B,C) \vee \operatorname{Zw}(B,A,C) \vee \operatorname{Zw}(A,C,B) </math>
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::: (II) <math>\operatorname{Zw}(A,B,C) \Leftrightarrow |AB|+|BC|=|AC|</math>
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::: Den Rest erledigen die Strahlensätze.
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===Satz II.10: Korollar aus Satz II.09===
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:: Jede zentrische Streckung ist geradentreu.
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===Satz II.11===
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::Für jede zentrische Streckung <math>ZS_{Z,k}</math> gilt: Jede Gerade, die durch durch <math>Z</math> geht, ist ein Fixgerade bei <math>ZS_{Z,k}</math>.
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===Beweis II.11===
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::trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
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===Satz II.12===
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:: Es sei <math>g</math> eine Gerade und <math>g'</math> ihr Bild bei <math>ZS_{Z,k}</math>. Es gilt: <math>g \|| g'</math>.
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[[Kategorie:Elementargeometrie]]
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===Beweis von Satz II.12===
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====Fall 1====
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::<math>Z \in g</math>
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::: Nach Satz II.11 gilt <math>g \equiv g'</math> und damit <math>g \|| g'</math>.
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====Fall 2====
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:: <math>Z \not\in g</math>
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::: Annahme: <math>\exist S \in g \cap g'</math>
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::::Fall 2.1: <math>\exist T \in g \cap g', T \not\equiv S</math>
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::::trivial, <math>g \equiv g'</math>
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::::Fall 2.2: <math>\left{S\right}=g \cap g'</math>
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::::Übungsaufgabe
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Seien P und Q zwei feste aber beliebige Punkte auf g. Nach Definition und Voraussetzung gilt nun für die Bilder von P und Q folgendes:
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<math>|ZP'| = |ZP|k</math> und <math>|ZQ'| = |ZQ|k</math>.<br />
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Nun gilt: <math>\frac{|ZQ|k} {|ZQ|} = \frac{|ZP|k} {|ZP|} = k </math>.<br />
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Es gilt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes (I. STS), dass g zur Menge aller Bildpunkte von g bei einer zentrischen
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Streckung (also unserer Geraden g') {{Schrift_orange|parallel ist.}}
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q. e. d.
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--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:05, 22. Mai 2012 (CEST)

Aktuelle Version vom 22. Mai 2012, 22:09 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Zentrische Streckungen

Begriff der zentrischen Streckung

Definition II.07: (zentrische Streckung)

Es sei Z ein beliebig aber fest gewählter Punkt der Ebene \varepsilon. Ferner sei Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): k \in \mathbb{R} \setminus\left{ 0 \right}

. Unter der zentrischen Streckung ZS_{Z,k}mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor k versteht man eine Abbildung von \varepsilon auf sich mit \forall P \in \varepsilon : ZS_{Z,k} (P) = Z + k \vec{ZP} .

Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten von k und verschiedenen Positionen von P (Strg + f löscht die Spur):

Eigenschaften zentrischer Streckungen

Satz II.08

Eine zentrische Streckung ZS_{Z,k} ist genau dann die Identität, wenn k=1 gilt.

Beweis von Satz II.08

trivial, entsprechend der Definition II.07

Satz II.09

Es seien A,B,C drei Punkte und A',B',C' deren Bilder bei der zentrischen Streckung ZS_{Z,k}. Wenn \operatorname{koll}(A,B,C), dann \operatorname{koll}(A',B',C').

Beweis von Satz II.09

Übungsaufgabe
Hinweise:
(I) \operatorname{koll}(A,B,C) \Leftrightarrow \operatorname{Zw}(A,B,C) \vee \operatorname{Zw}(B,A,C) \vee \operatorname{Zw}(A,C,B)
(II) \operatorname{Zw}(A,B,C) \Leftrightarrow |AB|+|BC|=|AC|
Den Rest erledigen die Strahlensätze.

Satz II.10: Korollar aus Satz II.09

Jede zentrische Streckung ist geradentreu.

Satz II.11

Für jede zentrische Streckung ZS_{Z,k} gilt: Jede Gerade, die durch durch Z geht, ist ein Fixgerade bei ZS_{Z,k}.

Beweis II.11

trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Satz II.12

Es sei g eine Gerade und g' ihr Bild bei ZS_{Z,k}. Es gilt: g \|| g'.

Beweis von Satz II.12

Fall 1

Z \in g
Nach Satz II.11 gilt g \equiv g' und damit g \|| g'.

Fall 2

Z \not\in g
Annahme: \exist S \in g \cap g'
Fall 2.1: \exist T \in g \cap g', T \not\equiv S
trivial, g \equiv g'
Fall 2.2: Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \left{S\right}=g \cap g'
Übungsaufgabe 
Seien P und Q zwei feste aber beliebige Punkte auf g. Nach Definition und Voraussetzung gilt nun für die Bilder von P und Q folgendes:
|ZP'| = |ZP|k und |ZQ'| = |ZQ|k.

Nun gilt: \frac{|ZQ|k} {|ZQ|} = \frac{|ZP|k} {|ZP|} = k .

Es gilt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes (I. STS), dass g zur Menge aller Bildpunkte von g bei einer zentrischen
Streckung (also unserer Geraden g') parallel ist.
q. e. d.


--Flo60 23:05, 22. Mai 2012 (CEST)

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