Winkelmessung WS 11/12: Unterschied zwischen den Versionen
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::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180. | ::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180. | ||
− | bedeutet zwischen 0 und 180, dass die Zahlen 0 und 180 dazugehören oder dass man sie ausschließen kann? Denn es gibt keinen Winkel, der 0 ° hat. Könnte man dann dieses Axiom als Begründung hierfür( kein Winkel ist 0° groß) nehmen? --[[Benutzer:Geogeo12|Geogeo12]] 19:38, 11. Jan. 2012 (CET) | + | bedeutet zwischen 0 und 180, dass die Zahlen 0 und 180 dazugehören oder dass man sie ausschließen kann? Denn es gibt keinen Winkel, der 0 ° hat. Könnte man dann dieses Axiom als Begründung hierfür( kein Winkel ist 0° groß) nehmen? --[[Benutzer:Geogeo12|Geogeo12]] 19:38, 11. Jan. 2012 (CET)<br /> Ja richtig, 0 und 180° Winkel existieren nicht in der absoluten Geometrie, wie sie anhand unserer Axiome und Definitionen aufgebaut ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:09, 29. Jan. 2012 (CET) |
====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ==== | ====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ==== | ||
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:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math> | :: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math> | ||
− | ::Müsste <math>\ \omega</math> oben nicht ohne Betragsstriche stehen und unten im Applet entsprechend ohne Gradangabe? --[[Benutzer:*wuhuh*|* | + | ::Müsste <math>\ \omega</math> oben nicht ohne Betragsstriche stehen und unten im Applet entsprechend ohne Gradangabe? --[[Benutzer:*wuhuh*|*wuhu*]] 17:06, 28. Jan. 2012 (CET)<br /> |
+ | ::Genau genommen - ja! Sehr gut!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:12, 29. Jan. 2012 (CET) | ||
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Aktuelle Version vom 29. Januar 2012, 18:12 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Das Winkelmaß
Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?
Länge einer Strecke | Größe eines Winkels |
nichtnegative reelle Zahl | reelle Zahl zwischen 0 und 180 |
Das Winkelmaßaxiom
Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)
- Zu jedem Winkel gibt es genau eine reelle Zahl zwischen 0 und 180.
bedeutet zwischen 0 und 180, dass die Zahlen 0 und 180 dazugehören oder dass man sie ausschließen kann? Denn es gibt keinen Winkel, der 0 ° hat. Könnte man dann dieses Axiom als Begründung hierfür( kein Winkel ist 0° groß) nehmen? --Geogeo12 19:38, 11. Jan. 2012 (CET)
Ja richtig, 0 und 180° Winkel existieren nicht in der absoluten Geometrie, wie sie anhand unserer Axiome und Definitionen aufgebaut ist.--Tutorin Anne 18:09, 29. Jan. 2012 (CET)
Definition V.5: (Größe eines Winkels)
- Die Zahl , die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von genannt.
In Zeichen: .
- Die Zahl , die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von genannt.
Winkelkonstruktion
Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens
Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)
- Es sei eine Gerade in der Ebene . Zu jeder reellen Zahl mit gibt es in jeder der beiden durch bestimmten Halbebenen der Ebene genau einen Strahl mit
- Müsste oben nicht ohne Betragsstriche stehen und unten im Applet entsprechend ohne Gradangabe? --*wuhu* 17:06, 28. Jan. 2012 (CET)
- Genau genommen - ja! Sehr gut!--Tutorin Anne 18:12, 29. Jan. 2012 (CET)
- Müsste oben nicht ohne Betragsstriche stehen und unten im Applet entsprechend ohne Gradangabe? --*wuhu* 17:06, 28. Jan. 2012 (CET)
Winkeladdition
Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)
- Wenn der Punkt zum Inneren des Winkels gehört , dann gilt .
Satz V.2
- Wenn der Punkt im Inneren des Winkels und nicht auf einem der Schenkel des Winkels liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel und jeweils kleiner als die Größe des Winkels .
Beweis von Satz V.2
Vor.: im inneren
Beh.:
Überschrift 1 | Überschrift 2 |
---|---|
(1) im innerenund |
Vor. |
(2) | Winnkeladditionsaxiom |
(3) | (2) Rechen in R |
(4) q.e.d. |
Winkelmaßaxiom, (3) muss einen reelle Zahl zw. 0 und 180 ergeben und kann somit nicht negativ sein. |
Rechte Winkel
Definition V.6 : (Rechter Winkel)
- Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.
Definition V.7 : (Supplementärwinkel)
- Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.
Axiom IV.4: (Supplementaxiom)
- Nebenwinkel sind supplementär.
Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln)
- Es gibt rechte Winkel.
Beweis von Satz V.3 :
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.
Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.
Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.
Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.
In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.
Satz V.4 :
- Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.
Beweis von Satz V.4 :
- Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen.
- Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen.
Die Relation Senkrecht auf der Menge der Geraden
Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)
- Es seien und zwei Geraden. Wenn sich und schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden und senkrecht aufeinader.
- In Zeichen: (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)
Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?
Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht)
- Eine Gerade und eine Strecke stehen senkrecht aufeinander, wenn die und die Gerade senkrecht aufeinander stehen.
- Eine Gerade und eine Strecke stehen senkrecht aufeinander, wenn die und die Gerade senkrecht aufeinander stehen.
Ergänzen Sie:
Eigenschaften der Relation senkrecht
Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden)
- Es sei eine Gerade der Ebene . Ferner sei ein Punkt auf . In der Ebene gibt es genau eine Gerade , die durch geht und senkrecht auf steht.
Beweis von Satz V.5
Aufgabe_Tutorium