Lösung von Aufgabe 5.1P (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen
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Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br /> | Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br /> | ||
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | ||
| − | b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /> | + | b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /><br /> |
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| + | a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | ||
<math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | ||
für den widerspruchsbeweis nehme ich nun <br /> | für den widerspruchsbeweis nehme ich nun <br /> | ||
| − | 1. die behauptung:<math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math> <br /> | + | 1. die ''behauptung'':<math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math> <br /> |
| + | du meinst sicher die Voraussetzung, die du richtig genannt hast.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:27, 22. Mai 2012 (CEST) | ||
und <br /> | und <br /> | ||
2. die annahme (gegenteil der behauptung):<math> a\not \parallel c</math>,<br /> | 2. die annahme (gegenteil der behauptung):<math> a\not \parallel c</math>,<br /> | ||
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es ist gegeben, dass <math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>, beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.<br /> | es ist gegeben, dass <math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>, beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.<br /> | ||
da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein. | da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein. | ||
| − | --[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 09:35, 11. Mai 2012 (CEST) | + | --[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)<br /><br /> |
| + | sehr gut! Natürlich lässt sich das auch in Form einer Tabelle aufführen. Möchten sich noch andere versuchen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:27, 22. Mai 2012 (CEST) | ||
| + | In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --[[Benutzer:Malilglowka|Malilglowka]] 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)<br /><br /> | ||
| + | durch den punkt a darf nur eine(!) gerade geben, die zur geraden b parallel ist (p.-axiom), da a und c durch den schnittpunkt gehen, müssen beide identisch sein.--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 15:17, 23. Mai 2012 (CEST) | ||
| + | <br />p.s.: sie können sich also nicht schneiden (wie es in der annahme behauptet wird. damit ist die annahme widerlegt und die implikation durch widerspruch bewiesen.--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 15:19, 23. Mai 2012 (CEST) | ||
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| + | !Beweisschritt!!Begründung | ||
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| + | | (1) a nicht parallel c || 1. somit Schnittpunkt a und c | ||
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| + | | (2) b nicht parallel c || 2. Da Schnittpunkt auf beiden ist | ||
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| + | | (3) a parallel b und b nicht parallel c || 3. Parallelaxiom | ||
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| + | so ?--[[Benutzer:Malilglowka|Malilglowka]] 15:18, 23. Mai 2012 (CEST)<br /><br /> | ||
| + | a nicht parallel zu c führt zum schnittpunkt --> annahme und noch dafür begrüngung finden.<br /> | ||
| + | a parallel zu b --> aus vorraussetzung<br /> | ||
| + | b und c sind parallel --> aus vorraussetzung<br /> | ||
| + | durch den schnittpunkt gibt es nur eine gerade, die zu b parallel ist --> par.-axiom<br /> | ||
| + | schnittpunkt ist aber von zwei nicht parallelen geraden a unc c --> annahme<br /> | ||
| + | damit funktioniert die ganze idee nicht mehr, der annahme kann widersprochen werden und die implikation ist bewiesen.--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 15:30, 23. Mai 2012 (CEST) | ||
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| + | b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /> | ||
| + | die relation <math>\|| </math> ist transitiv.--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 09:39, 11. Mai 2012 (CEST) | ||
[[Kategorie:Einführung_P]] | [[Kategorie:Einführung_P]] | ||
Aktuelle Version vom 23. Mai 2012, 15:30 Uhr
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: 
.
b) Welche Eigenschaft der Relation 
auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: .
.
für den widerspruchsbeweis nehme ich nun
1. die behauptung:
du meinst sicher die Voraussetzung, die du richtig genannt hast.--Tutorin Anne 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)
und
2. die annahme (gegenteil der behauptung):
,
um sie zu einem widerspruch zu führen.
wenn a und c nicht parallel sind, haben sie einen schnittpunkt.
es ist gegeben, dass , beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.
da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein.
--Studentin 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)
sehr gut! Natürlich lässt sich das auch in Form einer Tabelle aufführen. Möchten sich noch andere versuchen?--Tutorin Anne 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)
In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --Malilglowka 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)
durch den punkt a darf nur eine(!) gerade geben, die zur geraden b parallel ist (p.-axiom), da a und c durch den schnittpunkt gehen, müssen beide identisch sein.--Studentin 15:17, 23. Mai 2012 (CEST)
p.s.: sie können sich also nicht schneiden (wie es in der annahme behauptet wird. damit ist die annahme widerlegt und die implikation durch widerspruch bewiesen.--Studentin 15:19, 23. Mai 2012 (CEST)
| Beweisschritt | Begründung |
|---|---|
| (1) a nicht parallel c | 1. somit Schnittpunkt a und c |
| (2) b nicht parallel c | 2. Da Schnittpunkt auf beiden ist |
| (3) a parallel b und b nicht parallel c | 3. Parallelaxiom |
so ?--Malilglowka 15:18, 23. Mai 2012 (CEST)
a nicht parallel zu c führt zum schnittpunkt --> annahme und noch dafür begrüngung finden.
a parallel zu b --> aus vorraussetzung
b und c sind parallel --> aus vorraussetzung
durch den schnittpunkt gibt es nur eine gerade, die zu b parallel ist --> par.-axiom
schnittpunkt ist aber von zwei nicht parallelen geraden a unc c --> annahme
damit funktioniert die ganze idee nicht mehr, der annahme kann widersprochen werden und die implikation ist bewiesen.--Studentin 15:30, 23. Mai 2012 (CEST)
b) Welche Eigenschaft der Relation auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
die relation ist transitiv.--Studentin 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)
