Lösung von Zusatzaufgabe 6.1 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen
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=== Zusatzaufgabe 6.1 === | === Zusatzaufgabe 6.1 === | ||
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \varepsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br /> | Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \varepsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br /> | ||
− | + | ===Lösungsvorschlag von Quadratisch , Praktisch, Gut=== | |
− | Voraussetzung: Gerade g, Punkt P, P nicht Element von g | + | Voraussetzung: Gerade g, Punkt P, P nicht Element von g<br/> |
− | {| class="wikitable | + | Behauptung: Es existiert eine Ebene, die sowohl g als auch P enthält. |
+ | {| class="wikitable" | ||
!Schritt!!Warum darf ich den Schritt machen? | !Schritt!!Warum darf ich den Schritt machen? | ||
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− | | Es existiert X,Y.X,Y Element g || I.2 | + | | (1)Es existiert X,Y.X,Y Element g || I.2 |
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− | | nkoll(X,Y,P) || (1), Vor. | + | | (2)nkoll(X,Y,P) || (1), Vor. |
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− | | Es existiert eine Ebene.X,Y,P Element der Ebene || (2), I.4 | + | | (3)Es existiert eine Ebene.X,Y,P Element der Ebene || (2), I.4 |
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Durch Axiom I.4 wären Existenz ('''Zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es''' genau '''eine Ebene'''...) und Eindeutigkeit (... '''genau eine Ebene'''...) bewiesen. <br/> | Durch Axiom I.4 wären Existenz ('''Zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es''' genau '''eine Ebene'''...) und Eindeutigkeit (... '''genau eine Ebene'''...) bewiesen. <br/> | ||
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 20:02, 4. Jun. 2012 (CEST) | --[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 20:02, 4. Jun. 2012 (CEST) | ||
+ | ===Bemerkungen M.G.=== | ||
+ | Der Beweis ist soweit korrekt aber noch nicht ganz vollständig. Das Axiom I/4 sichert uns nur, dass Ihre Punkte <math>X,Y,P</math> in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen. Wir sollen aber zeigen, dass alle Punkte der Geraden <math>g</math> in <math>\varepsilon</math> liegen. | ||
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+ | Hier noch mal Ihr Beweis mit LaTex Tags. Schritt 4 wäre noch zu ergänzen.(Meine Begründungen fallen etwas ausführlicher aus, weil viele Leser sicherlich die Axiome nicht im Kopf haben.) | ||
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+ | !Nr. !!Schritt !! Warum darf ich den Schritt machen? | ||
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+ | | (1) || <math>\exist X, Y : X \in g \wedge Y \in g</math> || Axiom I/2: Auf jeder Geraden gibt es zwei verschiedene Punkte. | ||
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+ | | (2) ||<math>\operatorname{nkoll} (X,Y,P)</math>||Nach Voraussetzung gehört <math>P</math> nicht zu <math>g</math>, was nach Schritt 1 für die beiden Punkte <math>X</math> und <math>Y</math> jedoch zutrifft. | ||
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+ | | (3)|| <math>\exist \varepsilon: X, Y, P \in \varepsilon</math> || Axiom I/4: Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, zu der die drei Punkte gehören. | ||
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+ | | (4)|| <math>g \subset \varepsilon</math> || Axiom ... | ||
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+ | <br /> | ||
+ | Bei Schritt (4) würde ich als Begründung das Axiom I.5 anwenden, welches besagt, dass "wenn 2 Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E". <br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 13:47, 9. Jul. 2012 (CEST)<br /> | ||
+ | *Ja, dann passt der Beweis auch so. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:32, 12. Jul. 2012 (CEST) | ||
[[Category:Einführung_S]] | [[Category:Einführung_S]] |
Aktuelle Version vom 12. Juli 2012, 11:32 Uhr
Zusatzaufgabe 6.1
Es sei eine Gerade und ein Punkt, der nicht zu gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene , die sowohl alle Punkte von als auch den Punkt enthält.
Lösungsvorschlag von Quadratisch , Praktisch, Gut
Voraussetzung: Gerade g, Punkt P, P nicht Element von g
Behauptung: Es existiert eine Ebene, die sowohl g als auch P enthält.
Schritt | Warum darf ich den Schritt machen? |
---|---|
(1)Es existiert X,Y.X,Y Element g | I.2 |
(2)nkoll(X,Y,P) | (1), Vor. |
(3)Es existiert eine Ebene.X,Y,P Element der Ebene | (2), I.4 |
Durch Axiom I.4 wären Existenz (Zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene...) und Eindeutigkeit (... genau eine Ebene...) bewiesen.
--RitterSport 20:02, 4. Jun. 2012 (CEST)
Bemerkungen M.G.
Der Beweis ist soweit korrekt aber noch nicht ganz vollständig. Das Axiom I/4 sichert uns nur, dass Ihre Punkte in der Ebene liegen. Wir sollen aber zeigen, dass alle Punkte der Geraden in liegen.
Hier noch mal Ihr Beweis mit LaTex Tags. Schritt 4 wäre noch zu ergänzen.(Meine Begründungen fallen etwas ausführlicher aus, weil viele Leser sicherlich die Axiome nicht im Kopf haben.)
Nr. | Schritt | Warum darf ich den Schritt machen? |
---|---|---|
(1) | Axiom I/2: Auf jeder Geraden gibt es zwei verschiedene Punkte. | |
(2) | Nach Voraussetzung gehört nicht zu , was nach Schritt 1 für die beiden Punkte und jedoch zutrifft. | |
(3) | Axiom I/4: Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, zu der die drei Punkte gehören. | |
(4) | Axiom ... |
Bei Schritt (4) würde ich als Begründung das Axiom I.5 anwenden, welches besagt, dass "wenn 2 Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E".
--Tchu Tcha Tcha 13:47, 9. Jul. 2012 (CEST)
- Ja, dann passt der Beweis auch so. --Tutor Andreas 11:32, 12. Jul. 2012 (CEST)