Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen
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== Der Basiswinkelsatz == | == Der Basiswinkelsatz == | ||
=== Gleichschenklige Dreiecke === | === Gleichschenklige Dreiecke === | ||
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===== Satz VII.5: Basiswinkelsatz ===== | ===== Satz VII.5: Basiswinkelsatz ===== | ||
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. | ::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. | ||
− | + | [[Schulvariante des Beweises des Basiswinkelsatzes]] | |
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===== Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes ===== | ===== Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes ===== | ||
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . | Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . | ||
− | Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende | + | Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende des Winkels, der der Basis des gleichschenkligen Dreiecks gegenüberliegt. Die Winkelhalbierende muss dann die Basis des Dreiecks schneiden. Diese unmittelbar einsichtige Tatsache muss eigentlich bwiesen werden. Wir verweisen diesbezüglich auf die [[Lemmata zu Winkeln]]. |
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+ | Hinweis: Im folgenden Beweis berufen wir uns auf Lemma 1. Korrekterweise müsste es Lemma W/3 heißen. Sobald ich Zeit finde werde ich die App überarbeiten.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:17, 21. Jun. 2012 (CEST)<br /><br /> | ||
− | + | {{pdf|Beweis_des_Basiswinkelsatzes.pdf| Hier}} finden Sie das Arbeitsblatt zum Beweis des Basiswinkelsatzes aus der Vorlesung vom 28.06.2012. | |
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====== Beweis des Basiswinkelsatzes ====== | ====== Beweis des Basiswinkelsatzes ====== | ||
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Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen: | Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen: | ||
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::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand. | ::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand. | ||
+ | Beweis: Übungsaufgabe | ||
+ | ==Die Umkehrung des Basiswinkelsatzes== | ||
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Aktuelle Version vom 27. Juni 2012, 12:11 Uhr
Der BasiswinkelsatzGleichschenklige DreieckeDefinition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter. Übungsaufgabe Der BasiswinkelsatzSatz VII.5: Basiswinkelsatz
Schulvariante des Beweises des Basiswinkelsatzes Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des BasiswinkelsatzesProbieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende des Winkels, der der Basis des gleichschenkligen Dreiecks gegenüberliegt. Die Winkelhalbierende muss dann die Basis des Dreiecks schneiden. Diese unmittelbar einsichtige Tatsache muss eigentlich bwiesen werden. Wir verweisen diesbezüglich auf die Lemmata zu Winkeln. Hinweis: Im folgenden Beweis berufen wir uns auf Lemma 1. Korrekterweise müsste es Lemma W/3 heißen. Sobald ich Zeit finde werde ich die App überarbeiten.--*m.g.* 18:17, 21. Jun. 2012 (CEST) Hier finden Sie das Arbeitsblatt zum Beweis des Basiswinkelsatzes aus der Vorlesung vom 28.06.2012. Beweis des Basiswinkelsatzes
Das MittelsenkrechtenkriteriumSatz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)
Bezug zur Schule:Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke mittels Zirkel und Lineal: Konstruktionsvorschrift: gegeben: Strecke gesucht: , die Mittelsenkrechte von
Frage: Ist dieser Algorithmus korrekt? Anders gefragt: Ist wirklich die Mittelsenkrechte von ? Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen: Satz VII.6 a:
Beweis von Satz VII.6 aÜbungsaufgabe (Das Video hilft)
Die Wahl des Radius der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für . Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten. Die Frage anders formuliert: Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von zu den Punkten und jeweils ein und denselben Abstand? Noch anders formuliert: Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke notwendigerweise zu und zu ein und denselben Abstand? Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv: Satz VII.6 b
Beweis: Übungsaufgabe Die Umkehrung des BasiswinkelsatzesSatz VII.7
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