Lösung von Aufgabe 9.3 S: Unterschied zwischen den Versionen

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==Die Aufgabe==
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===Satz===
 
'''Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math>E</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>E</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math>g</math> steht.'''<br />
 
'''Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math>E</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>E</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math>g</math> steht.'''<br />
  
 
Beweisen Sie den Satz.<br />
 
Beweisen Sie den Satz.<br />
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<br />Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:<br />
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==Lösungsversuch 1 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:==
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[[Datei:Aufgabe 9.3S.png]]<br />Eindeutigkeitsbeweis..Beweisen durch Widerspruch!<br />Annahme: Es gibt 2 nicht identische Geraden, die durch den Punkt P gehen und g senkrecht schneiden.<br />Fortsetzung folgt...<br />
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[[Datei:Aufgabe 9.3S.png]]<br />Eindeutigkeitsbeweis..Beweisen durch Widerspruch!<br />Annahme: Es gibt 2 nicht identische Geraden, die durch den Punkt P gehen und g senkrecht schneiden.<br />
 
Könnte man hier nicht einen Widerspruchsbeweis mit dem Winkelkonstruktionsaxiom führen??
 
Könnte man hier nicht einen Widerspruchsbeweis mit dem Winkelkonstruktionsaxiom führen??
 
Letztendlich wird dann gesagt, dass es ein Widerspruch zu diesem Axiom wäre, da es nur genau einen Strahl in der Halbebene gibt, der das Maß 90 hat..?!?<br />
 
Letztendlich wird dann gesagt, dass es ein Widerspruch zu diesem Axiom wäre, da es nur genau einen Strahl in der Halbebene gibt, der das Maß 90 hat..?!?<br />
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--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 16:56, 20. Jun. 2012 (CEST)
 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 16:56, 20. Jun. 2012 (CEST)
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[[Kategorie:Einführung_S]]
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===Bemerkung M.G.===
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Richtig, Eindeutigkeitsbeweise führt man in der Regel indirekt. Wir nehmen an, es gäbe zwei Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math>, die beide durch <math>P</math> gehen und senkrecht auf <math>g</math> stehen. Senkrecht stehen bedeutet, dass rechte Winkel gebildet werden. Jeder rechte Winkel hat das maß 90° ... . Sie haben den Beweis schon völlig verstanden. Was Ihnen wahrscheinlich Schwierigkeiten bereitet, ist das Aufschreiben desselben. Hilfe: Führen Sie auf <math>g, s_1</math> und <math>s_2</math> geeignete Punkte ein. Dann können Sie die entstehenden rechten Winkel besser bezeichnen. Danach wird Ihnen das Winkelkonstruktionsaxiom wacker zur Seite stehen.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:04, 24. Jun. 2012 (CEST)
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'''Idee:''' (Wir sind in einer Ebene E)
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==Lösungsversuch 2 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:==
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Es gibt einen Punkt K, der nicht auf g liegt. Die Gerade s geht durch K und P. (Axiom I.1)
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Annahme: Es gibt 2 verschiedene Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math>, die beide durch <math>P</math> gehen und senkrecht auf <math>g</math> stehen.<br />
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Also: g n s = {P}
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(1) <math>g\in E</math> // Voraussetzung<br />
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Winkel gPs hat das Maß 90 (Es gibt rechte Winnkel, Axiom W.4 --> Alle vier Winkel um P haben das Maß 90)
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(2) <math>P\in g</math> // Voraussetzung<br />
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(3) <math>\exists s_1 \in E: s_1\cap g = \{P\} \wedge s_1 \perp g</math>  //Annahme<br />
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(4) <math>\exists s_2 \in E:  s_2\cap g = \{P\} \wedge s_2 \perp g</math>  //Annahme<br />
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(5) <math>\exists S_1 \in s_1 \wedge S_2 \in s_2 \wedge P_2 \in g</math>: <math>S_1\neq S_2\neq P_2\neq P\neq S_1</math> // Axiom I.2<br />
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(6) <math>\left|\angle S_1PP_2\right| = 90 \wedge \left|\angle S_2PP_2\right| = 90</math> // Annahme, (3),(4)<br />
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(7) Nach dem Winkelkonstruktionsaxiom gibt es genau 1 Strahl <math>\ PS^{+}</math> zu <math>\ PP_2</math>mit der Größe 90. Nach (6) müssen die Strahlen
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<math>\ PS_1^{+}</math> und <math>\ PS_2^{+}</math> identisch sein.<br />
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(8) Widerspruch zur Annahme! // (7)<br />
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(9) Behauptung stimmt! // (8)<br />
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qed<br />
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--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 19:23, 24. Jun. 2012 (CEST)
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===Bemerkungen von M.G. zu Lösungsversuch 2 von Numero6===
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Fast perfekt. Sie müssten nur noch explizit annehmen, dass die beiden Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math> voneinander verschieden sind. Ansonsten ist es einfacher, von vornherein zu sagen, dass sich alles in der Ebene <math>E</math> abspielt. Dann brauche Sie dass nicht in diversen Schritten zu berücksichtigen. Auch bei Schritt 5 machen Sie sich das Leben unnötig schwer. Sie brauchen die Punkte auf den Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math> lediglich zu Zwecken der Bezeichnung. Legen Sie die bereits zu Anfang des Beweises fest:
  
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--> Eindeutigkeit und Existenz bewiesen. (!?)
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Annahme: Es ex. zwei verschiedene Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math> die senkrecht auf <math>g</math> stehen und die durch den Punkt <math>P</math> gehen. <math>S_1</math> und <math>S_2</math> seien zwei Punkte auf <math>s_1</math> bzw. <math>s_2</math>, die beide in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math> liegen.(Auf eine Begründung, der Existenz dieser Punkte können wir jetzt verzichten. Wir könnten das problemlos erledigen und müssen jetzt nicht mehr bis in den letzten Urschleim der Inzidenz zurückgehen.Analog machen Sie es mit den Punkten, die Sie auf <math>g</math> auswählen, um die Winkel besser bezeichnen zu können.
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--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:08, 24. Jun. 2012 (CEST)
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Danke, guter Tipp--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 13:28, 25. Jun. 2012 (CEST)
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==Lösung von Rittersport==
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<br /><u>'''Idee:''' (Wir sind in einer Ebene E)<br /></u>
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Es gibt einen Punkt <math>K</math>, der nicht auf <math>g</math> liegt. Die Gerade <math>s</math> geht durch <math>K</math> und <math>P</math>. (Axiom I.1)<br />
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Also: <math>g \cap s = \{P\}</math><br />
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Winkel <math>\angle gPs</math> hat das Maß <math>90</math> (Es gibt rechte Winkel, Axiom W.4 --> Alle vier Winkel um P haben das Maß 90)<br />
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--> Eindeutigkeit und Existenz bewiesen. (!?)<br />
 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 19:50, 23. Jun. 2012 (CEST)
 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 19:50, 23. Jun. 2012 (CEST)
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===Bemerkung M.G.===
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Sie verwenden einen beliebigen Punkt <math>K</math> außerhalb von <math>g</math>. Das ist Ihr gutes Recht und auch nach den Axiomen der absoluten Geometrie zulässig.  Die beiden Punkte <math>K</math> und <math>P</math> bestimmen jetzt eindeutig eine Gerade, was natürlich entsprechend I/1 gilt. Warum sollte diese Gerade jetzt aber mit der Geraden <math>g</math> rechte Winkel bilden? Der Punkt <math>K</math> war beliebig in unserer Ebene gewählt. Einzige Bedingung war, dass er nicht auf <math>g</math> liegen sollte. Da bedarf es schon einer gehörigen Portion Glück, den Punkt <math>K</math> derart gewählt zu haben, dass <math>KP \perp g</math> gilt.
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Was hilft wirklich? Wir wissen, dass wir einen Winkel mit dem Maß 90° bräuchten. Dieser sollte <math>P</math> als Scheitelpunkt haben und  eine der beiden Halbgeraden von <math>g</math>, die durch <math>P</math> eindeutig bestimmt sind, als Schenkel verwenden.
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Fangen wir doch einfach mit einer dieser Halbgeraden an: Es sei <math>PA^+</math> eine der beiden Halbgeraden, die durch <math>P</math> auf <math>g</math> eindeutig bestimmt sind. Das Winkelkonstruktionsaxiom liefert uns jetzt ...
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Wenn wir damit fertig sind, haben wir die Existenz einer in <math>P</math> auf <math>g</math> senkrecht stehenden Geraden <math>s</math> bewiesen. Was bleibt ist die Eindeutigkeit. S. oben Tchu Tcha Tcha
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--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:21, 24. Jun. 2012 (CEST)
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[[Kategorie:Einführung_S]]
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'''Fetter Text'''
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== Lösung Just noch ein sailA/ Kopernikus ==
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<math>g\in  \ E  ;  P\in  E</math>
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genau eine Gerade s die senkrecht auf g steht und in P schneidet.
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es gibt eine weitere Gerade h die senkrecht auf g steht und g in P schneidet.<math>h\neq s</math>
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{| class="wikitable "
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! Schritt
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! Beweis
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! Begründung
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|'''Existenz'''
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| 1
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| <math>\exist A: A \in g</math>
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| Axiom I/2
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| <math>\exist Q: Q \not\in  \ g \wedge \ Q\in  E</math>
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| Axiom I/3
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| <math>\exist \ PB^{+} : \ PB^{+} \subset  \ \  gQ^{+} \wedge \angle BPA =90</math>
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| 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom),
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|-
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| 4
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| <math>\exists s: B\in \ s \wedge P \in  s</math>
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| 3, Axiom I/2
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| <math>\ s \perp \ g</math>
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| 3,4,nach Konstruktion, Def. senkrecht.
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| '''Eindeutigkeit'''
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|-
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| 6
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|  <math>\exist \ PC^{+} : \ PC^{+} \subset  \ \  gQ^{+} \wedge \angle CPA =90</math>
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| 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom),
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|-
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| <math>\exists h: C\in \ h \wedge P \in  h</math>
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| 6, Axiom I/2
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|-
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| 8
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| <math>\angle CPA =90 = \angle BPA</math>
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| 3,6
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| 9
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| <math>\ PB^{+} =\ PC^{+}</math>
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| 8, Axiom IV/2 (Winkelkonstruktionsaxion)
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| 10
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| h=s
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| 9
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| 11
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| Blitz
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| 10, Widerspruch zur Ann. <math>h\neq s</math>
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--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST)<br />
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--[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST)<br /><br />
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* Das Zeichen := bedeutet "ist definiert als". Wenn man sagen möchte, dass eine Eigenschaft für etwas gilt, dann schreibt man nur einen Doppelpunkt. Beispiel: "Es existiert ein Punkt A, der auf g liegt." sieht dann wie folgt aus <math>\exists A:\ A \in g</math>--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:13, 1. Jul. 2012 (CEST)<br />
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Zudem muss es heißen: <math>PB^{+} \subset  \ \  gQ^{+}</math> statt <math>PB^{+} \in  \ \  gQ^{+}</math>. Ich habe das mal verbessert. Ich finde der Beweis ist sehr genau und sehr gut. Natürlich würde mir auch hier eine passende Skizze gefallen :)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:18, 1. Jul. 2012 (CEST)
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Aktuelle Version vom 1. Juli 2012, 17:22 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die Aufgabe

Satz

Es sei g eine Gerade der Ebene E. Ferner sei P ein Punkt auf g. In der Ebene E gibt es genau eine Gerade s, die durch P geht und senkrecht auf g steht.

Beweisen Sie den Satz.

Lösungsversuch 1 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:

Aufgabe 9.3S.png
Eindeutigkeitsbeweis..Beweisen durch Widerspruch!
Annahme: Es gibt 2 nicht identische Geraden, die durch den Punkt P gehen und g senkrecht schneiden.
Könnte man hier nicht einen Widerspruchsbeweis mit dem Winkelkonstruktionsaxiom führen?? Letztendlich wird dann gesagt, dass es ein Widerspruch zu diesem Axiom wäre, da es nur genau einen Strahl in der Halbebene gibt, der das Maß 90 hat..?!?
\Rightarrow die 2 Geraden müssten identisch sein, also Widerspruch zur Annahme! Behauptung stimmt..

--Tchu Tcha Tcha 16:56, 20. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkung M.G.

Richtig, Eindeutigkeitsbeweise führt man in der Regel indirekt. Wir nehmen an, es gäbe zwei Geraden s_1 und s_2, die beide durch P gehen und senkrecht auf g stehen. Senkrecht stehen bedeutet, dass rechte Winkel gebildet werden. Jeder rechte Winkel hat das maß 90° ... . Sie haben den Beweis schon völlig verstanden. Was Ihnen wahrscheinlich Schwierigkeiten bereitet, ist das Aufschreiben desselben. Hilfe: Führen Sie auf g, s_1 und s_2 geeignete Punkte ein. Dann können Sie die entstehenden rechten Winkel besser bezeichnen. Danach wird Ihnen das Winkelkonstruktionsaxiom wacker zur Seite stehen.--*m.g.* 10:04, 24. Jun. 2012 (CEST)

Lösungsversuch 2 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:

Annahme: Es gibt 2 verschiedene Geraden s_1 und s_2, die beide durch P gehen und senkrecht auf g stehen.
(1) g\in E // Voraussetzung
(2) P\in g // Voraussetzung
(3) \exists s_1 \in E: s_1\cap g = \{P\} \wedge s_1 \perp g //Annahme
(4) \exists s_2 \in E: s_2\cap g = \{P\} \wedge s_2 \perp g //Annahme
(5) \exists S_1 \in s_1 \wedge S_2 \in s_2 \wedge P_2 \in g: S_1\neq S_2\neq P_2\neq P\neq S_1 // Axiom I.2
(6) \left|\angle S_1PP_2\right| = 90 \wedge \left|\angle S_2PP_2\right| = 90 // Annahme, (3),(4)
(7) Nach dem Winkelkonstruktionsaxiom gibt es genau 1 Strahl \ PS^{+} zu \ PP_2mit der Größe 90. Nach (6) müssen die Strahlen \ PS_1^{+} und \ PS_2^{+} identisch sein.
(8) Widerspruch zur Annahme! // (7)
(9) Behauptung stimmt! // (8)
qed
--Tchu Tcha Tcha 19:23, 24. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkungen von M.G. zu Lösungsversuch 2 von Numero6

Fast perfekt. Sie müssten nur noch explizit annehmen, dass die beiden Geraden s_1 und s_2 voneinander verschieden sind. Ansonsten ist es einfacher, von vornherein zu sagen, dass sich alles in der Ebene E abspielt. Dann brauche Sie dass nicht in diversen Schritten zu berücksichtigen. Auch bei Schritt 5 machen Sie sich das Leben unnötig schwer. Sie brauchen die Punkte auf den Geraden s_1 und s_2 lediglich zu Zwecken der Bezeichnung. Legen Sie die bereits zu Anfang des Beweises fest:

Annahme: Es ex. zwei verschiedene Geraden s_1 und s_2 die senkrecht auf g stehen und die durch den Punkt P gehen. S_1 und S_2 seien zwei Punkte auf s_1 bzw. s_2, die beide in derselben Halbebene bezüglich g liegen.(Auf eine Begründung, der Existenz dieser Punkte können wir jetzt verzichten. Wir könnten das problemlos erledigen und müssen jetzt nicht mehr bis in den letzten Urschleim der Inzidenz zurückgehen.Analog machen Sie es mit den Punkten, die Sie auf g auswählen, um die Winkel besser bezeichnen zu können.


--*m.g.* 22:08, 24. Jun. 2012 (CEST)

Danke, guter Tipp--Tchu Tcha Tcha 13:28, 25. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Rittersport


Idee: (Wir sind in einer Ebene E)
 Es gibt einen Punkt K, der nicht auf g liegt. Die Gerade s geht durch K und P. (Axiom I.1)
Also: g \cap s = \{P\}
Winkel \angle gPs hat das Maß 90 (Es gibt rechte Winkel, Axiom W.4 --> Alle vier Winkel um P haben das Maß 90)
--> Eindeutigkeit und Existenz bewiesen. (!?)
--RitterSport 19:50, 23. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkung M.G.

Sie verwenden einen beliebigen Punkt K außerhalb von g. Das ist Ihr gutes Recht und auch nach den Axiomen der absoluten Geometrie zulässig. Die beiden Punkte K und P bestimmen jetzt eindeutig eine Gerade, was natürlich entsprechend I/1 gilt. Warum sollte diese Gerade jetzt aber mit der Geraden g rechte Winkel bilden? Der Punkt K war beliebig in unserer Ebene gewählt. Einzige Bedingung war, dass er nicht auf g liegen sollte. Da bedarf es schon einer gehörigen Portion Glück, den Punkt K derart gewählt zu haben, dass KP \perp g gilt.

Was hilft wirklich? Wir wissen, dass wir einen Winkel mit dem Maß 90° bräuchten. Dieser sollte P als Scheitelpunkt haben und eine der beiden Halbgeraden von g, die durch P eindeutig bestimmt sind, als Schenkel verwenden.

Fangen wir doch einfach mit einer dieser Halbgeraden an: Es sei PA^+ eine der beiden Halbgeraden, die durch P auf g eindeutig bestimmt sind. Das Winkelkonstruktionsaxiom liefert uns jetzt ...


Wenn wir damit fertig sind, haben wir die Existenz einer in P auf g senkrecht stehenden Geraden s bewiesen. Was bleibt ist die Eindeutigkeit. S. oben Tchu Tcha Tcha --*m.g.* 10:21, 24. Jun. 2012 (CEST) Fetter Text

Lösung Just noch ein sailA/ Kopernikus


Vor:

g\in \ E  ; P\in E

Beh:

genau eine Gerade s die senkrecht auf g steht und in P schneidet.

Ann:

es gibt eine weitere Gerade h die senkrecht auf g steht und g in P schneidet.h\neq s


Schritt Beweis Begründung
Existenz
1 \exist A: A \in g Axiom I/2
2 \exist Q: Q \not\in \ g \wedge \ Q\in E Axiom I/3
3 \exist \ PB^{+} : \ PB^{+} \subset \ \ gQ^{+} \wedge \angle BPA =90 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom),
4 \exists s: B\in \ s \wedge P \in s 3, Axiom I/2
5 \ s \perp \ g 3,4,nach Konstruktion, Def. senkrecht.
Eindeutigkeit
6 \exist \ PC^{+} : \ PC^{+} \subset \ \ gQ^{+} \wedge \angle CPA =90 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom),
7 \exists h: C\in \ h \wedge P \in h 6, Axiom I/2
8 \angle CPA =90 = \angle BPA 3,6
9 \ PB^{+} =\ PC^{+} 8, Axiom IV/2 (Winkelkonstruktionsaxion)
10 h=s 9
11 Blitz 10, Widerspruch zur Ann. h\neq s

--Kopernikus 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST)
--Just noch ein sailA 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST)

  • Das Zeichen := bedeutet "ist definiert als". Wenn man sagen möchte, dass eine Eigenschaft für etwas gilt, dann schreibt man nur einen Doppelpunkt. Beispiel: "Es existiert ein Punkt A, der auf g liegt." sieht dann wie folgt aus \exists A:\ A \in g--Tutor Andreas 18:13, 1. Jul. 2012 (CEST)

Zudem muss es heißen: PB^{+} \subset \ \ gQ^{+} statt PB^{+} \in \ \ gQ^{+}. Ich habe das mal verbessert. Ich finde der Beweis ist sehr genau und sehr gut. Natürlich würde mir auch hier eine passende Skizze gefallen :)--Tutor Andreas 18:18, 1. Jul. 2012 (CEST)

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