Lösung von Aufgabe 9.3 S: Unterschied zwischen den Versionen
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Lösung von Ritterport) |
(→Ann:) |
||
(23 dazwischenliegende Versionen von 4 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 4: | Zeile 4: | ||
Beweisen Sie den Satz.<br /> | Beweisen Sie den Satz.<br /> | ||
− | ==Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:== | + | ==Lösungsversuch 1 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:== |
− | [[Datei:Aufgabe 9.3S.png]]<br />Eindeutigkeitsbeweis..Beweisen durch Widerspruch!<br />Annahme: Es gibt 2 nicht identische Geraden, die durch den Punkt P gehen und g senkrecht schneiden | + | [[Datei:Aufgabe 9.3S.png]]<br />Eindeutigkeitsbeweis..Beweisen durch Widerspruch!<br />Annahme: Es gibt 2 nicht identische Geraden, die durch den Punkt P gehen und g senkrecht schneiden.<br /> |
Könnte man hier nicht einen Widerspruchsbeweis mit dem Winkelkonstruktionsaxiom führen?? | Könnte man hier nicht einen Widerspruchsbeweis mit dem Winkelkonstruktionsaxiom führen?? | ||
Letztendlich wird dann gesagt, dass es ein Widerspruch zu diesem Axiom wäre, da es nur genau einen Strahl in der Halbebene gibt, der das Maß 90 hat..?!?<br /> | Letztendlich wird dann gesagt, dass es ein Widerspruch zu diesem Axiom wäre, da es nur genau einen Strahl in der Halbebene gibt, der das Maß 90 hat..?!?<br /> | ||
Zeile 13: | Zeile 13: | ||
===Bemerkung M.G.=== | ===Bemerkung M.G.=== | ||
Richtig, Eindeutigkeitsbeweise führt man in der Regel indirekt. Wir nehmen an, es gäbe zwei Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math>, die beide durch <math>P</math> gehen und senkrecht auf <math>g</math> stehen. Senkrecht stehen bedeutet, dass rechte Winkel gebildet werden. Jeder rechte Winkel hat das maß 90° ... . Sie haben den Beweis schon völlig verstanden. Was Ihnen wahrscheinlich Schwierigkeiten bereitet, ist das Aufschreiben desselben. Hilfe: Führen Sie auf <math>g, s_1</math> und <math>s_2</math> geeignete Punkte ein. Dann können Sie die entstehenden rechten Winkel besser bezeichnen. Danach wird Ihnen das Winkelkonstruktionsaxiom wacker zur Seite stehen.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:04, 24. Jun. 2012 (CEST) | Richtig, Eindeutigkeitsbeweise führt man in der Regel indirekt. Wir nehmen an, es gäbe zwei Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math>, die beide durch <math>P</math> gehen und senkrecht auf <math>g</math> stehen. Senkrecht stehen bedeutet, dass rechte Winkel gebildet werden. Jeder rechte Winkel hat das maß 90° ... . Sie haben den Beweis schon völlig verstanden. Was Ihnen wahrscheinlich Schwierigkeiten bereitet, ist das Aufschreiben desselben. Hilfe: Führen Sie auf <math>g, s_1</math> und <math>s_2</math> geeignete Punkte ein. Dann können Sie die entstehenden rechten Winkel besser bezeichnen. Danach wird Ihnen das Winkelkonstruktionsaxiom wacker zur Seite stehen.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:04, 24. Jun. 2012 (CEST) | ||
+ | <br /> | ||
− | ==Lösung von | + | ==Lösungsversuch 2 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:== |
+ | Annahme: Es gibt 2 verschiedene Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math>, die beide durch <math>P</math> gehen und senkrecht auf <math>g</math> stehen.<br /> | ||
+ | (1) <math>g\in E</math> // Voraussetzung<br /> | ||
+ | (2) <math>P\in g</math> // Voraussetzung<br /> | ||
+ | (3) <math>\exists s_1 \in E: s_1\cap g = \{P\} \wedge s_1 \perp g</math> //Annahme<br /> | ||
+ | (4) <math>\exists s_2 \in E: s_2\cap g = \{P\} \wedge s_2 \perp g</math> //Annahme<br /> | ||
+ | (5) <math>\exists S_1 \in s_1 \wedge S_2 \in s_2 \wedge P_2 \in g</math>: <math>S_1\neq S_2\neq P_2\neq P\neq S_1</math> // Axiom I.2<br /> | ||
+ | (6) <math>\left|\angle S_1PP_2\right| = 90 \wedge \left|\angle S_2PP_2\right| = 90</math> // Annahme, (3),(4)<br /> | ||
+ | (7) Nach dem Winkelkonstruktionsaxiom gibt es genau 1 Strahl <math>\ PS^{+}</math> zu <math>\ PP_2</math>mit der Größe 90. Nach (6) müssen die Strahlen | ||
+ | <math>\ PS_1^{+}</math> und <math>\ PS_2^{+}</math> identisch sein.<br /> | ||
+ | (8) Widerspruch zur Annahme! // (7)<br /> | ||
+ | (9) Behauptung stimmt! // (8)<br /> | ||
+ | qed<br /> | ||
+ | --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 19:23, 24. Jun. 2012 (CEST) | ||
+ | <br /> | ||
+ | ===Bemerkungen von M.G. zu Lösungsversuch 2 von Numero6=== | ||
+ | Fast perfekt. Sie müssten nur noch explizit annehmen, dass die beiden Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math> voneinander verschieden sind. Ansonsten ist es einfacher, von vornherein zu sagen, dass sich alles in der Ebene <math>E</math> abspielt. Dann brauche Sie dass nicht in diversen Schritten zu berücksichtigen. Auch bei Schritt 5 machen Sie sich das Leben unnötig schwer. Sie brauchen die Punkte auf den Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math> lediglich zu Zwecken der Bezeichnung. Legen Sie die bereits zu Anfang des Beweises fest: | ||
+ | |||
+ | Annahme: Es ex. zwei verschiedene Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math> die senkrecht auf <math>g</math> stehen und die durch den Punkt <math>P</math> gehen. <math>S_1</math> und <math>S_2</math> seien zwei Punkte auf <math>s_1</math> bzw. <math>s_2</math>, die beide in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math> liegen.(Auf eine Begründung, der Existenz dieser Punkte können wir jetzt verzichten. Wir könnten das problemlos erledigen und müssen jetzt nicht mehr bis in den letzten Urschleim der Inzidenz zurückgehen.Analog machen Sie es mit den Punkten, die Sie auf <math>g</math> auswählen, um die Winkel besser bezeichnen zu können. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:08, 24. Jun. 2012 (CEST) | ||
+ | |||
+ | Danke, guter Tipp--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 13:28, 25. Jun. 2012 (CEST) | ||
+ | |||
+ | ==Lösung von Rittersport== | ||
<br /><u>'''Idee:''' (Wir sind in einer Ebene E)<br /></u> | <br /><u>'''Idee:''' (Wir sind in einer Ebene E)<br /></u> | ||
Es gibt einen Punkt <math>K</math>, der nicht auf <math>g</math> liegt. Die Gerade <math>s</math> geht durch <math>K</math> und <math>P</math>. (Axiom I.1)<br /> | Es gibt einen Punkt <math>K</math>, der nicht auf <math>g</math> liegt. Die Gerade <math>s</math> geht durch <math>K</math> und <math>P</math>. (Axiom I.1)<br /> | ||
Also: <math>g \cap s = \{P\}</math><br /> | Also: <math>g \cap s = \{P\}</math><br /> | ||
− | Winkel gPs hat das Maß 90 (Es gibt rechte | + | Winkel <math>\angle gPs</math> hat das Maß <math>90</math> (Es gibt rechte Winkel, Axiom W.4 --> Alle vier Winkel um P haben das Maß 90)<br /> |
--> Eindeutigkeit und Existenz bewiesen. (!?)<br /> | --> Eindeutigkeit und Existenz bewiesen. (!?)<br /> | ||
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 19:50, 23. Jun. 2012 (CEST) | --[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 19:50, 23. Jun. 2012 (CEST) | ||
===Bemerkung M.G.=== | ===Bemerkung M.G.=== | ||
+ | Sie verwenden einen beliebigen Punkt <math>K</math> außerhalb von <math>g</math>. Das ist Ihr gutes Recht und auch nach den Axiomen der absoluten Geometrie zulässig. Die beiden Punkte <math>K</math> und <math>P</math> bestimmen jetzt eindeutig eine Gerade, was natürlich entsprechend I/1 gilt. Warum sollte diese Gerade jetzt aber mit der Geraden <math>g</math> rechte Winkel bilden? Der Punkt <math>K</math> war beliebig in unserer Ebene gewählt. Einzige Bedingung war, dass er nicht auf <math>g</math> liegen sollte. Da bedarf es schon einer gehörigen Portion Glück, den Punkt <math>K</math> derart gewählt zu haben, dass <math>KP \perp g</math> gilt. | ||
+ | Was hilft wirklich? Wir wissen, dass wir einen Winkel mit dem Maß 90° bräuchten. Dieser sollte <math>P</math> als Scheitelpunkt haben und eine der beiden Halbgeraden von <math>g</math>, die durch <math>P</math> eindeutig bestimmt sind, als Schenkel verwenden. | ||
+ | |||
+ | Fangen wir doch einfach mit einer dieser Halbgeraden an: Es sei <math>PA^+</math> eine der beiden Halbgeraden, die durch <math>P</math> auf <math>g</math> eindeutig bestimmt sind. Das Winkelkonstruktionsaxiom liefert uns jetzt ... | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Wenn wir damit fertig sind, haben wir die Existenz einer in <math>P</math> auf <math>g</math> senkrecht stehenden Geraden <math>s</math> bewiesen. Was bleibt ist die Eindeutigkeit. S. oben Tchu Tcha Tcha | ||
+ | --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:21, 24. Jun. 2012 (CEST) | ||
[[Kategorie:Einführung_S]] | [[Kategorie:Einführung_S]] | ||
+ | '''Fetter Text''' | ||
+ | |||
+ | == Lösung Just noch ein sailA/ Kopernikus == | ||
+ | <br /> | ||
+ | |||
+ | ==== Vor: ==== | ||
+ | <math>g\in \ E ; P\in E</math> | ||
+ | <br /> | ||
+ | |||
+ | ==== Beh: ==== | ||
+ | genau eine Gerade s die senkrecht auf g steht und in P schneidet. | ||
+ | <br /> | ||
+ | |||
+ | ==== Ann: ==== | ||
+ | es gibt eine weitere Gerade h die senkrecht auf g steht und g in P schneidet.<math>h\neq s</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {| class="wikitable " | ||
+ | ! Schritt | ||
+ | ! Beweis | ||
+ | ! Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | |'''Existenz''' | ||
+ | |- | ||
+ | | 1 | ||
+ | | <math>\exist A: A \in g</math> | ||
+ | | Axiom I/2 | ||
+ | |- | ||
+ | | 2 | ||
+ | | <math>\exist Q: Q \not\in \ g \wedge \ Q\in E</math> | ||
+ | | Axiom I/3 | ||
+ | |- | ||
+ | | 3 | ||
+ | | <math>\exist \ PB^{+} : \ PB^{+} \subset \ \ gQ^{+} \wedge \angle BPA =90</math> | ||
+ | | 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom), | ||
+ | |- | ||
+ | | 4 | ||
+ | | <math>\exists s: B\in \ s \wedge P \in s</math> | ||
+ | | 3, Axiom I/2 | ||
+ | |- | ||
+ | | 5 | ||
+ | | <math>\ s \perp \ g</math> | ||
+ | | 3,4,nach Konstruktion, Def. senkrecht. | ||
+ | |- | ||
+ | | '''Eindeutigkeit''' | ||
+ | |- | ||
+ | | 6 | ||
+ | | <math>\exist \ PC^{+} : \ PC^{+} \subset \ \ gQ^{+} \wedge \angle CPA =90</math> | ||
+ | | 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom), | ||
+ | |- | ||
+ | | 7 | ||
+ | | <math>\exists h: C\in \ h \wedge P \in h</math> | ||
+ | | 6, Axiom I/2 | ||
+ | |- | ||
+ | | 8 | ||
+ | | <math>\angle CPA =90 = \angle BPA</math> | ||
+ | | 3,6 | ||
+ | |- | ||
+ | | 9 | ||
+ | | <math>\ PB^{+} =\ PC^{+}</math> | ||
+ | | 8, Axiom IV/2 (Winkelkonstruktionsaxion) | ||
+ | |- | ||
+ | | 10 | ||
+ | | h=s | ||
+ | | 9 | ||
+ | |- | ||
+ | | 11 | ||
+ | | Blitz | ||
+ | | 10, Widerspruch zur Ann. <math>h\neq s</math> | ||
+ | |- | ||
+ | |||
+ | |} | ||
+ | --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST)<br /> | ||
+ | --[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST)<br /><br /> | ||
+ | * Das Zeichen := bedeutet "ist definiert als". Wenn man sagen möchte, dass eine Eigenschaft für etwas gilt, dann schreibt man nur einen Doppelpunkt. Beispiel: "Es existiert ein Punkt A, der auf g liegt." sieht dann wie folgt aus <math>\exists A:\ A \in g</math>--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:13, 1. Jul. 2012 (CEST)<br /> | ||
+ | Zudem muss es heißen: <math>PB^{+} \subset \ \ gQ^{+}</math> statt <math>PB^{+} \in \ \ gQ^{+}</math>. Ich habe das mal verbessert. Ich finde der Beweis ist sehr genau und sehr gut. Natürlich würde mir auch hier eine passende Skizze gefallen :)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:18, 1. Jul. 2012 (CEST) | ||
+ | |||
+ | == == |
Aktuelle Version vom 1. Juli 2012, 17:22 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Die Aufgabe
Satz
Es sei eine Gerade der Ebene . Ferner sei ein Punkt auf . In der Ebene gibt es genau eine Gerade , die durch geht und senkrecht auf steht.
Beweisen Sie den Satz.
Lösungsversuch 1 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:
Eindeutigkeitsbeweis..Beweisen durch Widerspruch!
Annahme: Es gibt 2 nicht identische Geraden, die durch den Punkt P gehen und g senkrecht schneiden.
Könnte man hier nicht einen Widerspruchsbeweis mit dem Winkelkonstruktionsaxiom führen??
Letztendlich wird dann gesagt, dass es ein Widerspruch zu diesem Axiom wäre, da es nur genau einen Strahl in der Halbebene gibt, der das Maß 90 hat..?!?
die 2 Geraden müssten identisch sein, also Widerspruch zur Annahme! Behauptung stimmt..
--Tchu Tcha Tcha 16:56, 20. Jun. 2012 (CEST)
Bemerkung M.G.
Richtig, Eindeutigkeitsbeweise führt man in der Regel indirekt. Wir nehmen an, es gäbe zwei Geraden und , die beide durch gehen und senkrecht auf stehen. Senkrecht stehen bedeutet, dass rechte Winkel gebildet werden. Jeder rechte Winkel hat das maß 90° ... . Sie haben den Beweis schon völlig verstanden. Was Ihnen wahrscheinlich Schwierigkeiten bereitet, ist das Aufschreiben desselben. Hilfe: Führen Sie auf und geeignete Punkte ein. Dann können Sie die entstehenden rechten Winkel besser bezeichnen. Danach wird Ihnen das Winkelkonstruktionsaxiom wacker zur Seite stehen.--*m.g.* 10:04, 24. Jun. 2012 (CEST)
Lösungsversuch 2 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:
Annahme: Es gibt 2 verschiedene Geraden und , die beide durch gehen und senkrecht auf stehen.
(1) // Voraussetzung
(2) // Voraussetzung
(3) //Annahme
(4) //Annahme
(5) : // Axiom I.2
(6) // Annahme, (3),(4)
(7) Nach dem Winkelkonstruktionsaxiom gibt es genau 1 Strahl zu mit der Größe 90. Nach (6) müssen die Strahlen
und identisch sein.
(8) Widerspruch zur Annahme! // (7)
(9) Behauptung stimmt! // (8)
qed
--Tchu Tcha Tcha 19:23, 24. Jun. 2012 (CEST)
Bemerkungen von M.G. zu Lösungsversuch 2 von Numero6
Fast perfekt. Sie müssten nur noch explizit annehmen, dass die beiden Geraden und voneinander verschieden sind. Ansonsten ist es einfacher, von vornherein zu sagen, dass sich alles in der Ebene abspielt. Dann brauche Sie dass nicht in diversen Schritten zu berücksichtigen. Auch bei Schritt 5 machen Sie sich das Leben unnötig schwer. Sie brauchen die Punkte auf den Geraden und lediglich zu Zwecken der Bezeichnung. Legen Sie die bereits zu Anfang des Beweises fest:
Annahme: Es ex. zwei verschiedene Geraden und die senkrecht auf stehen und die durch den Punkt gehen. und seien zwei Punkte auf bzw. , die beide in derselben Halbebene bezüglich liegen.(Auf eine Begründung, der Existenz dieser Punkte können wir jetzt verzichten. Wir könnten das problemlos erledigen und müssen jetzt nicht mehr bis in den letzten Urschleim der Inzidenz zurückgehen.Analog machen Sie es mit den Punkten, die Sie auf auswählen, um die Winkel besser bezeichnen zu können.
--*m.g.* 22:08, 24. Jun. 2012 (CEST)
Danke, guter Tipp--Tchu Tcha Tcha 13:28, 25. Jun. 2012 (CEST)
Lösung von Rittersport
Idee: (Wir sind in einer Ebene E)
Es gibt einen Punkt , der nicht auf liegt. Die Gerade geht durch und . (Axiom I.1)
Also:
Winkel hat das Maß (Es gibt rechte Winkel, Axiom W.4 --> Alle vier Winkel um P haben das Maß 90)
--> Eindeutigkeit und Existenz bewiesen. (!?)
--RitterSport 19:50, 23. Jun. 2012 (CEST)
Bemerkung M.G.
Sie verwenden einen beliebigen Punkt außerhalb von . Das ist Ihr gutes Recht und auch nach den Axiomen der absoluten Geometrie zulässig. Die beiden Punkte und bestimmen jetzt eindeutig eine Gerade, was natürlich entsprechend I/1 gilt. Warum sollte diese Gerade jetzt aber mit der Geraden rechte Winkel bilden? Der Punkt war beliebig in unserer Ebene gewählt. Einzige Bedingung war, dass er nicht auf liegen sollte. Da bedarf es schon einer gehörigen Portion Glück, den Punkt derart gewählt zu haben, dass gilt.
Was hilft wirklich? Wir wissen, dass wir einen Winkel mit dem Maß 90° bräuchten. Dieser sollte als Scheitelpunkt haben und eine der beiden Halbgeraden von , die durch eindeutig bestimmt sind, als Schenkel verwenden.
Fangen wir doch einfach mit einer dieser Halbgeraden an: Es sei eine der beiden Halbgeraden, die durch auf eindeutig bestimmt sind. Das Winkelkonstruktionsaxiom liefert uns jetzt ...
Wenn wir damit fertig sind, haben wir die Existenz einer in auf senkrecht stehenden Geraden bewiesen. Was bleibt ist die Eindeutigkeit. S. oben Tchu Tcha Tcha
--*m.g.* 10:21, 24. Jun. 2012 (CEST)
Fetter Text
Lösung Just noch ein sailA/ Kopernikus
Vor:
Beh:
genau eine Gerade s die senkrecht auf g steht und in P schneidet.
Ann:
es gibt eine weitere Gerade h die senkrecht auf g steht und g in P schneidet.
Schritt | Beweis | Begründung |
---|---|---|
Existenz | ||
1 | Axiom I/2 | |
2 | Axiom I/3 | |
3 | 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom), | |
4 | 3, Axiom I/2 | |
5 | 3,4,nach Konstruktion, Def. senkrecht. | |
Eindeutigkeit | ||
6 | 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom), | |
7 | 6, Axiom I/2 | |
8 | 3,6 | |
9 | 8, Axiom IV/2 (Winkelkonstruktionsaxion) | |
10 | h=s | 9 |
11 | Blitz | 10, Widerspruch zur Ann. |
--Kopernikus 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST)
--Just noch ein sailA 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST)
- Das Zeichen := bedeutet "ist definiert als". Wenn man sagen möchte, dass eine Eigenschaft für etwas gilt, dann schreibt man nur einen Doppelpunkt. Beispiel: "Es existiert ein Punkt A, der auf g liegt." sieht dann wie folgt aus --Tutor Andreas 18:13, 1. Jul. 2012 (CEST)
Zudem muss es heißen: statt . Ich habe das mal verbessert. Ich finde der Beweis ist sehr genau und sehr gut. Natürlich würde mir auch hier eine passende Skizze gefallen :)--Tutor Andreas 18:18, 1. Jul. 2012 (CEST)