Geradenspiegelungen (2012 13): Unterschied zwischen den Versionen
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(→Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g)) |
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== Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung== | == Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung== | ||
=== Idee der Symmetrie === | === Idee der Symmetrie === | ||
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| 1. | | 1. | ||
− | | | + | | Lotgerade von P auf g |
− | | | + | | Fällen des Lotes von P auf die Gerade g |
− | | .. | + | | Existenz und Eindeutigkeit des Lotes--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET) |
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| 2. | | 2. | ||
− | | | + | | Lotfußpunkt L |
− | | | + | | Einzeichnen des Lotfußpunktes L als Schnittpunkt der Geraden g mit der Lotgeraden von P auf g |
− | | .. | + | | Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, des Lotfußpunktes--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET) |
|- | |- | ||
| 3. | | 3. | ||
− | | | + | | IPLI auf LP- abtragen, Erhalten von P' |
− | | | + | | Die Strecke IPLI wird auf dem Strahl LP- abgetragen, dadurch erhält man das Bild von P bei Spiegelung an g nämlich P' |
− | |.. | + | |Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET) |
|} | |} | ||
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==Definition des Begriffs== | ==Definition des Begriffs== | ||
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)===== | =====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)===== | ||
− | ::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, | + | ::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt: <math>\forall P\ \not\in g: g \operatorname{ist Mittelsenkrechte von} \overline{PS_g(P)}</math>. |
− | + | Und für alle <math>Q \in g</math>: Q=Q'. | |
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− | + | ||
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+ | ======Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:46, 13. Nov. 2012 (CET)====== | ||
+ | <math>P \in g</math> müssen wir in der Definition berücksichtigen. | ||
+ | |||
+ | ==Geradenspiegelungen als Bewegungen== | ||
+ | ====Satz 2.1==== | ||
+ | Jede Geradenspiegelung ist eine Bewegung. | ||
====Beweis von Satz 2.1:==== | ====Beweis von Satz 2.1:==== | ||
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Wir unterscheiden drei Fälle: | Wir unterscheiden drei Fälle: | ||
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+ | =====Bemerkung von Jessy===== | ||
+ | [[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:02, 7. Nov. 2012 (CET): Müsste man nicht jedesmal noch unterscheiden ob koll(B,A,B') oder nkoll(B,A,B') gilt? | ||
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+ | Sie haben Recht, die Beweise verlaufen anders , wenn <math>AB \perp g</math>. Sollte jedoch nicht das ganz große Problem darstellen. | ||
=====Fall 1===== | =====Fall 1===== | ||
::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math> | ::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math> | ||
'''Beweis:''' <br /> | '''Beweis:''' <br /> | ||
+ | |||
+ | Nach der Def.(Geradenspiegelung) gilt: A ≡ A‘ ∧ B ≡ B‘ ⟹ |AB|=|A’B‘| q.e.d. | ||
+ | |||
+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:53, 16. Nov. 2012 (CET) | ||
=====Fall 2===== | =====Fall 2===== | ||
::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math><br /> | ::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math><br /> | ||
'''Beweis:''' | '''Beweis:''' | ||
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+ | [[Bild:Fall_2.JPG|600px]] | ||
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+ | In diesem Fall macht es bei der Beweisführung keinen Unterschied, ob A zwischen B und B' liegt oder nicht, da A zur Mittelsenkrechten gehört. | ||
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+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:04, 16. Nov. 2012 (CET) | ||
=====Fall 3===== | =====Fall 3===== | ||
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'''Beweis:''' | '''Beweis:''' | ||
+ | |||
+ | Fall 3.a: A liegt nicht zwischen B und B' | ||
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+ | [[Bild:Fall_3.JPG|800]] | ||
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+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:35, 7. Nov. 2012 (CET) | ||
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+ | Fall 3.b: A liegt zwischen B und B' | ||
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+ | [[Bild:Fall_3.b.JPG|1000px]] | ||
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+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:35, 14. Nov. 2012 (CET) | ||
=====Fall 4===== | =====Fall 4===== | ||
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math><br /> | ::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math><br /> | ||
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+ | [[Bild:Unbenannt.JPG]] | ||
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+ | Wenn A zwischen B und B' liegt verläuft der Beweis analog zum Beweis von Fall 3b | ||
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+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:19, 7. Nov. 2012 (CET) | ||
== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen == | == Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen == | ||
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==== Satz 2.2 ==== | ==== Satz 2.2 ==== | ||
:: Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.<br /><br /> | :: Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.<br /><br /> | ||
+ | |||
+ | '''Beweis''' | ||
+ | |||
+ | [[Bild:Eindeutigkeit_durch_Spiegelachse.JPG|500px]] | ||
+ | |||
+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:10, 16. Nov. 2012 (CET) | ||
==== Satz 2.3 ==== | ==== Satz 2.3 ==== | ||
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<br /> | <br /> | ||
+ | '''Beweis''' | ||
+ | |||
+ | [[Bild:Eindeutigkeit_durch_Spiegelbild.JPG|700px]] | ||
+ | |||
+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:14, 16. Nov. 2012 (CET) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | ||
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+ | </div> | ||
− | [[ | + | [[Kategorie: Elementargeometrie]] |
Aktuelle Version vom 12. Dezember 2012, 12:50 Uhr
Ideen zur Heranführung an die GeradenspiegelungIdee der Symmetrie
Verwendung eines halbdurchlässigen SpiegelsFaltenLeider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST) Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Spiegelung an der Geraden
Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer GeradenspiegelungÜbungsaufgabe:Es sei ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von bei der Spiegelung an . Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.
Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist. Definition des BegriffsDefinition 2.1: (Spiegelung an der Geraden )
Und für alle : Q=Q'.
Bemerkung --*m.g.* 14:46, 13. Nov. 2012 (CET)müssen wir in der Definition berücksichtigen. Geradenspiegelungen als BewegungenSatz 2.1Jede Geradenspiegelung ist eine Bewegung. Beweis von Satz 2.1:Es seien , zwei Punkte, die an einer Geraden auf ihre Bilder und gespiegelt werden. Wir unterscheiden drei Fälle: Bemerkung von JessyJessy* 09:02, 7. Nov. 2012 (CET): Müsste man nicht jedesmal noch unterscheiden ob koll(B,A,B') oder nkoll(B,A,B') gilt?
Fall 1Beweis: Nach der Def.(Geradenspiegelung) gilt: A ≡ A‘ ∧ B ≡ B‘ ⟹ |AB|=|A’B‘| q.e.d. --Jessy* 09:53, 16. Nov. 2012 (CET) Fall 2
Beweis: In diesem Fall macht es bei der Beweisführung keinen Unterschied, ob A zwischen B und B' liegt oder nicht, da A zur Mittelsenkrechten gehört. --Jessy* 10:04, 16. Nov. 2012 (CET) Fall 3
Beweis: Fall 3.a: A liegt nicht zwischen B und B' --Jessy* 09:35, 7. Nov. 2012 (CET)
--Jessy* 10:35, 14. Nov. 2012 (CET) Fall 4
Wenn A zwischen B und B' liegt verläuft der Beweis analog zum Beweis von Fall 3b --Jessy* 09:19, 7. Nov. 2012 (CET) Eindeutige Bestimmtheit von GeradenspiegelungenBestimmung über die SpiegelgeradeUnmittelbar einsichtig ist der folgende Satz: Satz 2.2
Beweis --Jessy* 10:10, 16. Nov. 2012 (CET) Satz 2.3
Beweis --Jessy* 10:14, 16. Nov. 2012 (CET)
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