Winkel, Nebenwinkel, Scheitelwinkel: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Repräsentanten und Gegenrepräsentanten)
(→‎Definition V.1: (Winkel))
 
(14 dazwischenliegende Versionen von 4 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 20: Zeile 20:
 
! kein Winkelmodell
 
! kein Winkelmodell
 
|-
 
|-
−
| 3,5,8. Da hier jeweils die Halbgeraden, welche einen Winkel definieren gezeigt werden. Vorr. für 8: es handelt sich um Halbgeraden.
+
| 3,5,8. Da hier jeweils die Halbgeraden, welche einen Winkel definieren gezeigt werden. Vorr. für 8: es handelt sich um Halbgeraden mit dem selben Startpunkt.
−
| 1, da das Innere des WInkels gezeigt wird. 2, siehe 1 , 4 siehe 1, 6, eine Halbgerade fehlt. 7, beide Halbgeraden fehlen.
+
| 1, da das Innere des WInkels gezeigt wird. 2, siehe 1 und es werden nur Strecken gezeigt , 4 siehe 1, 6, eine Halbgerade fehlt. 7, beide Halbgeraden fehlen.
 
|}
 
|}
 +
Erarbeitet in der Vorlesung am 14.06.10
  
 
==== Prozeß der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
 
==== Prozeß der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
Zeile 46: Zeile 47:
 
|-
 
|-
 
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
 
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
−
| Zeichne einen ...
+
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
 
|-
 
|-
 
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
 
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
−
| Zeichne einen zweiten ..., der
+
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.
  
 
|}
 
|}
 +
 
=== Definition des Winkelbegriffs ===
 
=== Definition des Winkelbegriffs ===
 
===== Definition V.1: (Winkel)=====
 
===== Definition V.1: (Winkel)=====
−
:: Ein Winkel ist ein Paar .... .
+
 
−
:: ... heißt der Scheitelpunkt von ...
+
:: Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.  
−
:: ... sind die Schenkel von ...
+
 
 +
:: Das ist richtig. Hört sich für den Kenner der deutschen Sprache aber etwas sperrig an. Können Sie es diesbzüglich ein wenig umformulieren? --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:20, 14. Jun. 2010 (UTC)
 +
 
 +
:: Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:05, 16. Jun. 2010 (UTC)
 +
 
 
==== Arten, Winkel zu beschreiben ====
 
==== Arten, Winkel zu beschreiben ====
  
Zeile 78: Zeile 84:
 
==== Die Idee des gerichteten Winkels ====
 
==== Die Idee des gerichteten Winkels ====
 
Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.
 
Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.
 +
 +
Ein gerichteter Winkel ist ein Winkel, dessen Größe schon vorher bestimmt wird und man diesen nach der Vorgabe konstruiert! ?????
  
 
=== Das Innere eines Winkels ===
 
=== Das Innere eines Winkels ===
Zeile 94: Zeile 102:
 
===== Beweis von Satz V.1 =====
 
===== Beweis von Satz V.1 =====
 
::trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2
 
::trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2
 +
 +
Versuch:
 +
 +
# Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.
 +
# Und damit haben wir die zwei Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>.
 +
# Diese Halbebenen sind nach Definition konvexe Punktmengen.
 +
# Da das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> der Schnitt der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math> ist, ist also auch die Schnittmenge beider Halbebenen konvex. Denn: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex (Satz IV.3).
 +
 +
 +
'''Siehe Diskussionsseite'''
  
 
==== Überstumpfe Winkel? ====
 
==== Überstumpfe Winkel? ====
 
Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.
 
Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.
 +
 
== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
 
== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
 
=== Scheitelwinkel ===
 
=== Scheitelwinkel ===

Aktuelle Version vom 24. Juni 2010, 20:36 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Winkel

Begriff des Winkels

Identifizieren von Winkeln

Repräsentanten und Gegenrepräsentanten

In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?

Winkel 01.svg Winkel 02.svg Winkel 03.svg Winkel 04.svg
Punktmenge 1 Punktmenge 2 Punktmenge 3 Punktmenge 4
Winkel 05.svg Winkel 06.svg Winkel 07.svg Winkel 08.svg
Punktmenge 5 Punktmenge 6 Punktmenge 7 Punktmenge 8

Tabelle 1

Winkelmodell kein Winkelmodell
3,5,8. Da hier jeweils die Halbgeraden, welche einen Winkel definieren gezeigt werden. Vorr. für 8: es handelt sich um Halbgeraden mit dem selben Startpunkt. 1, da das Innere des WInkels gezeigt wird. 2, siehe 1 und es werden nur Strecken gezeigt , 4 siehe 1, 6, eine Halbgerade fehlt. 7, beide Halbgeraden fehlen.

Erarbeitet in der Vorlesung am 14.06.10

Prozeß der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung

In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die ander Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:

Realisieren von Winkeln

Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs

Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

Konstruktion eines Winkels

Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

Konstruktionsschritt Beschreibung
Winkel konstruktiv 01.svg Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
Winkel konstruktiv 02.svg Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

Definition des Winkelbegriffs

Definition V.1: (Winkel)
Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.
Das ist richtig. Hört sich für den Kenner der deutschen Sprache aber etwas sperrig an. Können Sie es diesbzüglich ein wenig umformulieren? --*m.g.* 13:20, 14. Jun. 2010 (UTC)
Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.--TimoRR 21:05, 16. Jun. 2010 (UTC)

Arten, Winkel zu beschreiben

Beispiel Beschreibung in Zeichen Quelltext in Tex
Winkel pq.svg Winkel, der aus den beiden Strahlen \ p und \ q besteht. \angle pq \angle pq
Winkel ASB.svg Winkel, der aus den beiden Strahlen \ SA^+ und \ SB^+ besteht. \angle ASB \angle ASB

Die Idee des gerichteten Winkels

Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.

Ein gerichteter Winkel ist ein Winkel, dessen Größe schon vorher bestimmt wird und man diesen nach der Vorgabe konstruiert! ?????

Das Innere eines Winkels

So ist es zu verstehen

Inneres winkel.png

Flashapplikation

Definition des Inneren eines Winkels

Definition V.2: (Inneres eines Winkels)
Das Innere eines Winkels \angle ASB ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen \ SA,B^+ und \ SB,A^+

--Principella 10:47, 12. Jun. 2010 (UTC) korrekt--*m.g.* 03:01, 14. Jun. 2010 (UTC)

Satz V.1
Das Innere eines Winkels ist konvex.
Beweis von Satz V.1
trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2

Versuch:

  1. Eine Menge \ M von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten \ A und \ B dieser Menge die gesamte Strecke \overline{AB} zu \ M gehört.
  2. Und damit haben wir die zwei Halbebenen \ SA,B^+ und \ SB,A^+.
  3. Diese Halbebenen sind nach Definition konvexe Punktmengen.
  4. Da das Innere eines Winkels \angle ASB der Schnitt der beiden Halbebenen \ SA,B^+ und \ SB,A^+ ist, ist also auch die Schnittmenge beider Halbebenen konvex. Denn: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex (Satz IV.3).


Siehe Diskussionsseite

Überstumpfe Winkel?

Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

Scheitelwinkel und Nebenwinkel

Scheitelwinkel

Beispiele und Gegenbeispiele

Definition

Definition V.3: (Scheitelwinkel)
Die Winkel \angle SA^+,SB^+ und \angle SA^-,SB^- sind Scheitelwinkel.

Nebenwinkel

Beispiele und Gegenbeispiele

Definition

Definition V.4: (Nebenwinkel)
Die Winkel \angle SA^+,SB^+ und \angle SA^-,SB^+ sind Nebenwinkel.
Von „http://geometrie.zum.de/index.php?title=Winkel,_Nebenwinkel,_Scheitelwinkel&oldid=2311“