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Gegeben ist eine Verschiebung <math>\vec{v}</math> des Raumes durch einen Verschiebungspfeil <math>\vec{PP'}</math> mit <math>P(2,1,3)</math> und <math>P'(5,3,-1)</math>. | Gegeben ist eine Verschiebung <math>\vec{v}</math> des Raumes durch einen Verschiebungspfeil <math>\vec{PP'}</math> mit <math>P(2,1,3)</math> und <math>P'(5,3,-1)</math>. | ||
− | a) Geben | + | a) Geben Sie den Verschiebungsvektor <math>\vec{v}</math> als Zahlentripel an. |
b) Geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte der Punkte <math>A(3,-2,4)</math> und <math>B(3.5,2.5,-5)</math> bei der Verschiebung <math>\vec{v}</math> an. | b) Geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte der Punkte <math>A(3,-2,4)</math> und <math>B(3.5,2.5,-5)</math> bei der Verschiebung <math>\vec{v}</math> an. | ||
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==Aufgabe 4.4== | ==Aufgabe 4.4== | ||
− | Zeigen Sie, dass die Menge <math>P_{2}=\{p|p(x)=a_{2} | + | Zeigen Sie, dass die Menge <math>P_{2}=\{p|p(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0};</math> mit <math> a_{0},a_{1},a_{2} \in \mathbb{R} \}</math> der Polynome höchstens 2. Grades mit der folgend definierten Verknüpfungen <math> + </math> und <math>\cdot</math> für beliebige <math>p, q \in P</math> mit<math> p(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}</math> und <math>q(x)=b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}</math> sowie <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> ein Vektorraum ist: |
<math>(p+q)(x):= p(x)+ q(x)=(a_{2}+b_{2})x^2+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0})</math>, | <math>(p+q)(x):= p(x)+ q(x)=(a_{2}+b_{2})x^2+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0})</math>, | ||
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<math>(\lambda\cdot p)(x):= \lambda \cdot p(x)= \lambda a_{2}x^2+\lambda a_{1}x+\lambda a_{0}</math> | <math>(\lambda\cdot p)(x):= \lambda \cdot p(x)= \lambda a_{2}x^2+\lambda a_{1}x+\lambda a_{0}</math> | ||
+ | ==Lösungen== | ||
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+ | [[Lösungen zu den Aufgaben 4]] | ||
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[[Kategorie:Linalg]] | [[Kategorie:Linalg]] |
Aktuelle Version vom 27. Dezember 2012, 17:57 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Pfeilklassen und
Vektorräume
Aufgabe 4.1
Ein Vektor wird durch einen Pfeil
repräsentiert. Geben Sie
als Zahlentripel an.
a) A(-8,5,12), B(-5,7,-11)
b) A(5,6,7), B(-3,9,-4)
Aufgabe 4.2
Gegeben ist eine Verschiebung des Raumes durch einen Verschiebungspfeil
mit
und
.
a) Geben Sie den Verschiebungsvektor als Zahlentripel an.
b) Geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte der Punkte und
bei der Verschiebung
an.
Aufgabe 4.3
Durch und
werden zwei Verschiebungen des Raumes beschrieben.
a) Der Punkt wird zunächst um
und dann um
verschoben. Geben Sie die Koordinaten der entsprechenden Bildpunkt
und
an.
b) Geben Sie den Verschiebungsvektor an, der die Nacheinanderausfürhugn der Verschiebungen
und
beschreibt.
Aufgabe 4.4
Zeigen Sie, dass die Menge mit
der Polynome höchstens 2. Grades mit der folgend definierten Verknüpfungen
und
für beliebige
mit
und
sowie
ein Vektorraum ist:
,