Erzeugendensystem 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen

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=Beispiel 1=
 
=Beispiel 1=
 
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<br /><br />
 
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Experimentieren Sie: Wann ist die Menge <math>\left{\vec{a}, \vec{b}\right}</math> ein Erzeugendensystem für den <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. für die Menge aller Pfeilklassen der Ebene. (Strg+f frischt den Bildschirm auf)
 
Experimentieren Sie: Wann ist die Menge <math>\left{\vec{a}, \vec{b}\right}</math> ein Erzeugendensystem für den <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. für die Menge aller Pfeilklassen der Ebene. (Strg+f frischt den Bildschirm auf)
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=Beispiel 2=
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<ggb_applet width="843" height="581"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br /><br />
 +
=Erzeugendensystem, Basis und Hülle=
 +
'''Def.(lineare Hülle)'''<br />
 +
Lineare Hülle der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist die Menge der Linearkombinationen von <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math><br />
 +
Das bedeutet, die lineare Hülle der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> enthält alle Vektoren, die man mithilfe der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> darstellen kann.<br /><br />
 +
'''Def.(Erzeugendensystem)'''<br />
 +
Eine Menge von Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist ein Erzeugendensystem enes Vektorraumes V, wenn V eine Teilmenge der linearen Hülle von <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist.<br />
 +
Das heißt, wenn man mit den Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> alle Vektoren des Vektorraumes V darstellen kann ist die Menge der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ein Erzeugendensystem von V.<br />
 +
Die Menge der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> kann linear abhängig sein.<br /><br />
 +
'''Def.(Basis)'''<br />
 +
B ist eine Basis, wenn B ein Erzeugendensystem ist und linear unabhängig.<br />
 +
Daraus folgt, dass eine Basis eines Vektorraumes V ein minimales Erzeugendensystem ist.<br />
 +
 +
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<!--- hier drunter nichts eintragen --->
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[[Kategorie:Linalg]]

Aktuelle Version vom 31. Januar 2013, 17:40 Uhr

Beispiel 1



Experimentieren Sie: Wann ist die Menge Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \left{\vec{a}, \vec{b}\right} 

ein Erzeugendensystem für den \mathbb{R}^2 bzw. für die Menge aller Pfeilklassen der Ebene. (Strg+f frischt den Bildschirm auf)

Beispiel 2



Erzeugendensystem, Basis und Hülle

Def.(lineare Hülle)
Lineare Hülle der Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} ist die Menge der Linearkombinationen von \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n}
Das bedeutet, die lineare Hülle der Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} enthält alle Vektoren, die man mithilfe der Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} darstellen kann.

Def.(Erzeugendensystem)
Eine Menge von Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} ist ein Erzeugendensystem enes Vektorraumes V, wenn V eine Teilmenge der linearen Hülle von \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} ist.
Das heißt, wenn man mit den Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} alle Vektoren des Vektorraumes V darstellen kann ist die Menge der Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} ein Erzeugendensystem von V.
Die Menge der Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} kann linear abhängig sein.

Def.(Basis)
B ist eine Basis, wenn B ein Erzeugendensystem ist und linear unabhängig.

Daraus folgt, dass eine Basis eines Vektorraumes V ein minimales Erzeugendensystem ist.
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