Erzeugendensystem 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine Menge von Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist ein Erzeugendensystem enes Vektorraumes V, wenn V eine Teilmenge der linearen Hülle von <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist.<br />
 
Eine Menge von Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist ein Erzeugendensystem enes Vektorraumes V, wenn V eine Teilmenge der linearen Hülle von <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist.<br />
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Das heißt, wenn man mit den Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> alle Vektoren des Vektorraumes V darstellen kann ist die Menge der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ein Erzeugendensystem von V.<br /><br />
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Das heißt, wenn man mit den Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> alle Vektoren des Vektorraumes V darstellen kann ist die Menge der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ein Erzeugendensystem von V.<br />
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Die Menge der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> kann linear abhängig sein.<br /><br />
 
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Eine Basis des Vektorraumes V ist ein minimales Erzeugendensystem.<br />
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B ist eine Basis, wenn B ein Erzeugendensystem ist und linear unabhängig.<br />
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Das bedeutet, dass die Menge der Vektoren, welche das Erzeugendensystem bilden linear unabhängig ist.<br /><br />
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Daraus folgt, dass eine Basis eines Vektorraumes V ein minimales Erzeugendensystem ist.<br />
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Aktuelle Version vom 31. Januar 2013, 17:40 Uhr

Beispiel 1



Experimentieren Sie: Wann ist die Menge Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \left{\vec{a}, \vec{b}\right} 

ein Erzeugendensystem für den \mathbb{R}^2 bzw. für die Menge aller Pfeilklassen der Ebene. (Strg+f frischt den Bildschirm auf)

Beispiel 2



Erzeugendensystem, Basis und Hülle

Def.(lineare Hülle)
Lineare Hülle der Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} ist die Menge der Linearkombinationen von \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n}
Das bedeutet, die lineare Hülle der Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} enthält alle Vektoren, die man mithilfe der Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} darstellen kann.

Def.(Erzeugendensystem)
Eine Menge von Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} ist ein Erzeugendensystem enes Vektorraumes V, wenn V eine Teilmenge der linearen Hülle von \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} ist.
Das heißt, wenn man mit den Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} alle Vektoren des Vektorraumes V darstellen kann ist die Menge der Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} ein Erzeugendensystem von V.
Die Menge der Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} kann linear abhängig sein.

Def.(Basis)
B ist eine Basis, wenn B ein Erzeugendensystem ist und linear unabhängig.

Daraus folgt, dass eine Basis eines Vektorraumes V ein minimales Erzeugendensystem ist.
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