Lösung Aufgabe 9.7 WS 12 13: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Bemerkung --*m.g.* 13:25, 26. Jan. 2013 (CET))
(→‎Behauptung 2)
 
(20 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt)
Zeile 7: Zeile 7:
 
Beweisen Sie:<br />
 
Beweisen Sie:<br />
 
#<math>\exist s \subset \varepsilon: P \in s \wedge s \perp g </math>
 
#<math>\exist s \subset \varepsilon: P \in s \wedge s \perp g </math>
−
#<math>s_1 \subset \varepsilon \wedge P \in s_1 \wedge s \perp g \Rightarrow \neg \exist s_2: s_2 \subset \varepsilon \wedge P \in s_2 \wedge s_2 \perp g \wedge s_2 \not \equiv s_1 </math>
+
#<math>s_1 \subset \varepsilon \wedge P \in s_1 \wedge s \perp g \Rightarrow \neg \exist s_2: s_2 \subset \varepsilon \wedge P \in s_2 \wedge s_2 \perp g \wedge s_2 \not \equiv s_1 </math><br /><br />
 +
Tippfehler:
 +
<math>s_1 \subset \varepsilon \wedge P \in s_1 \wedge s_1 \perp g \Rightarrow \neg \exist s_2: s_2 \subset \varepsilon \wedge P \in s_2 \wedge s_2 \perp g \wedge s_2 \not \equiv s_1 </math><br />
  
 
==Lösung von User ...==
 
==Lösung von User ...==
Zeile 20: Zeile 22:
 
In der Ebene <math>\varepsilon</math> seien eine Gerade <math>g</math>  und ein Punkt <math>P</math>  mit <math>P \in g</math> gegeben.<br />
 
In der Ebene <math>\varepsilon</math> seien eine Gerade <math>g</math>  und ein Punkt <math>P</math>  mit <math>P \in g</math> gegeben.<br />
 
Wir gehen also von einer Ebene <math>\varepsilon</math> aus. Ob die Existiert schert uns wenig. In <math>\varepsilon</math> möge eine Gerade <math>g</math> gelegen sein und auf dieser Geraden ein Punkt <math>P</math>. Sollte eine derartige Konstellation vorliegen, wissen wir Folgendes:<br />
 
Wir gehen also von einer Ebene <math>\varepsilon</math> aus. Ob die Existiert schert uns wenig. In <math>\varepsilon</math> möge eine Gerade <math>g</math> gelegen sein und auf dieser Geraden ein Punkt <math>P</math>. Sollte eine derartige Konstellation vorliegen, wissen wir Folgendes:<br />
−
#<math>\exist s \subset \varepsilon: P \in s \wedge s \perp g </math><br />
+
=====Behauptung 1=====
 +
*<math>\exist s \subset \varepsilon: P \in s \wedge s \perp g </math><br />
 
Wir übersetzen:
 
Wir übersetzen:
  
Zeile 26: Zeile 29:
 
!Mathe!!Deutsch
 
!Mathe!!Deutsch
 
|-  
 
|-  
−
| <math>\exist s \subset \varepsilon: P \in s \wedge s \perp g </math> || Es existiert eine Gerade <math>s</math>, diese ist in der Ebene <math>\varepsilon</math> gelegen und hat die folgenden Eigenschaften:
+
| <math>\exist s </math> || Es existiert eine Gerade <math>s</math>,
 
|-  
 
|-  
−
| 3 || 4
+
| <math>\subset \varepsilon</math>|| die zu der Ebene <math>\varepsilon</math> gehört
 +
|-
 +
| : ||und die folgenden Eigenschaften hat:,
 +
|-
 +
|<math>P \in s </math>|| der Punkt <math>P</math> gehört zu <math>s</math> bzw. anders ausgedrückt <math>s</math> geht durch <math>P</math>
 +
|-
 +
|<math>\wedge</math>|| und
 +
|-
 +
|<math>s \perp g </math>|| <math>s</math> steht senkrecht auf <math>g</math>
 +
|}
 +
 
 +
Noch mal neu:
 +
::Zu jeder Geraden <math>p</math> und jedem Punkt <math>P</math> auf dieser Geraden <math>g</math> gibt es in jeder Ebene, die <math>g</math> enthält eine zu <math>g</math> senkrechte Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht.<br />
 +
Oder:
 +
::In jeder Ebene, die eine Gerade enthält, gibt es in jedem Punkt dieser Geraden eine Senkrechte zu der Geraden.
 +
=====Behauptung 2=====
 +
*<math>s_1 \subset \varepsilon \wedge P \in s_1 \wedge s_1 \perp g \Rightarrow \neg \exist s_2: s_2 \subset \varepsilon \wedge P \in s_2 \wedge s_2 \perp g \wedge s_2 \not \equiv s_1 </math><br />
 +
 
 +
Wir sehen den Implikationspfeil und setzen vor alles, was vor dem Pfeil steht ein ''Wenn'':<br />
 +
 
 +
'''Wenn'''<br />
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
!Mathe!!Deutsch
 +
|-
 +
| <math>s_1 \subset \varepsilon</math> || die Gerade <math>s_1</math>  zur Ebene <math>\varepsilon</math> gehört
 +
|-
 +
|<math>\wedge</math> || und
 +
|-
 +
| <math> P \in s_1</math> ||  durch den Punkt <math>P</math> geht
 +
|-
 +
| <math>\wedge</math> || und
 +
|-
 +
| <math>s_1 \perp g</math> ||  senkrecht auf <math>g</math> steht
 +
|}
 +
<br />
 +
Jetzt kommt der Implikationspfeil <math>\Rightarrow</math><br />
 +
Wir übersetzen ihn mit <br /><br />
 +
'''Dann''':<br />
 +
 
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
!Mathe!!Deutsch
 +
|-
 +
| <math>\neg \exist s_2</math> || existiert keine Gerade <math>s_2</math>,
 +
|-
 +
| <math>:</math> || die die folgenden Eigenschaften hat:
 +
|-
 +
| <math>s_2 \subset \varepsilon</math> || sie gehört (auch) zur Ebene <math>\varepsilon</math>
 +
|-
 +
| <math>\wedge</math> || und
 +
|-
 +
|  <math>P \in s_2</math> || geht (auch) durch den Punkt <math>P</math>
 +
|-
 +
| <math>\wedge</math> || und
 +
|-
 +
| <math>s_2 \perp g</math> || steht (auch) senkrecht auf <math>g</math>
 +
|-
 +
| <math>\wedge</math> || und
 +
|-
 +
| <math>s_2 \not \equiv s_1</math> || sie ist von der Geraden <math>s_1</math> verschieden.
 +
 
 
|}
 
|}
  
−
*<math>\exist s \subset \varepsilon</math>
+
Kurzübersetzung:<br />
 +
'''Es kann nur eine geben.'''<br /><br />
 +
'''Hinweis:''' Sie sollten für die Klausur in der Lage sein, sowas in angemessener Zeit korrekt zu übersetzen.
 +
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:23, 26. Jan. 2013 (CET)<br />
 +
Bezug zur Schule:<br />
 +
Das Ganze entspricht in gewisser Weise dem Erkennen und Übersetzen der Struktur von Termen in den Klassen 8 aufwärts.
  
 
==Lösung von User ...==
 
==Lösung von User ...==

Aktuelle Version vom 26. Januar 2013, 14:24 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 9.7

In der Ebene \varepsilon seien eine Gerade g und ein Punkt P mit P \in g gegeben.
Beweisen Sie:

  1. \exist s \subset \varepsilon: P \in s \wedge s \perp g
  2. s_1 \subset \varepsilon \wedge P \in s_1 \wedge s \perp g \Rightarrow \neg \exist s_2: s_2 \subset \varepsilon \wedge P \in s_2 \wedge s_2 \perp g \wedge s_2 \not \equiv s_1

Tippfehler: s_1 \subset \varepsilon \wedge P \in s_1 \wedge s_1 \perp g \Rightarrow \neg \exist s_2: s_2 \subset \varepsilon \wedge P \in s_2 \wedge s_2 \perp g \wedge s_2 \not \equiv s_1

Lösung von User ...

Lautet die Voraussetzung: Existenz ebene und g Element der ebene und p Element g Lautet die Behauptung : P Element s und s orthogonal zu g

--Hauleri 14:36, 25. Jan. 2013 (CET)

Bemerkung --*m.g.* 13:25, 26. Jan. 2013 (CET)

Das steht so nirgends:
Voraussetzung:
In der Ebene \varepsilon seien eine Gerade g und ein Punkt P mit P \in g gegeben.
Wir gehen also von einer Ebene \varepsilon aus. Ob die Existiert schert uns wenig. In \varepsilon möge eine Gerade g gelegen sein und auf dieser Geraden ein Punkt P. Sollte eine derartige Konstellation vorliegen, wissen wir Folgendes:

Behauptung 1
  • \exist s \subset \varepsilon: P \in s \wedge s \perp g

Wir übersetzen:

Mathe Deutsch
\exist s Es existiert eine Gerade s,
\subset \varepsilon die zu der Ebene \varepsilon gehört
 : und die folgenden Eigenschaften hat:,
P \in s der Punkt P gehört zu s bzw. anders ausgedrückt s geht durch P
\wedge und
s \perp g s steht senkrecht auf g

Noch mal neu:

Zu jeder Geraden p und jedem Punkt P auf dieser Geraden g gibt es in jeder Ebene, die g enthält eine zu g senkrechte Gerade s, die durch P geht.

Oder:

In jeder Ebene, die eine Gerade enthält, gibt es in jedem Punkt dieser Geraden eine Senkrechte zu der Geraden.
Behauptung 2
  • s_1 \subset \varepsilon \wedge P \in s_1 \wedge s_1 \perp g \Rightarrow \neg \exist s_2: s_2 \subset \varepsilon \wedge P \in s_2 \wedge s_2 \perp g \wedge s_2 \not \equiv s_1

Wir sehen den Implikationspfeil und setzen vor alles, was vor dem Pfeil steht ein Wenn:

Wenn

Mathe Deutsch
s_1 \subset \varepsilon die Gerade s_1 zur Ebene \varepsilon gehört
\wedge und
P \in s_1 durch den Punkt P geht
\wedge und
s_1 \perp g senkrecht auf g steht


Jetzt kommt der Implikationspfeil \Rightarrow
Wir übersetzen ihn mit

Dann:


Mathe Deutsch
\neg \exist s_2 existiert keine Gerade s_2,
: die die folgenden Eigenschaften hat:
s_2 \subset \varepsilon sie gehört (auch) zur Ebene \varepsilon
\wedge und
P \in s_2 geht (auch) durch den Punkt P
\wedge und
s_2 \perp g steht (auch) senkrecht auf g
\wedge und
s_2 \not \equiv s_1 sie ist von der Geraden s_1 verschieden.

Kurzübersetzung:
Es kann nur eine geben.

Hinweis: Sie sollten für die Klausur in der Lage sein, sowas in angemessener Zeit korrekt zu übersetzen. --*m.g.* 14:23, 26. Jan. 2013 (CET)
Bezug zur Schule:
Das Ganze entspricht in gewisser Weise dem Erkennen und Übersetzen der Struktur von Termen in den Klassen 8 aufwärts.

Lösung von User ...

Von „http://geometrie.zum.de/index.php?title=Lösung_Aufgabe_9.7_WS_12_13&oldid=20745“