Benutzer:Andreas: Unterschied zwischen den Versionen

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== Satz: Jede Drehung <math>D_{Z,\beta}</math> ist eine Bewegung. ==
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==Beweis==
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Voraussetzung: Drehung D um Punkt Z mit dem Winkel <math>\beta</math><br />
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Behauptung: |PQ|=|P'Q'|
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{| class="wikitable "
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! Beweisschritt
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! Begründung
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| 1) <math>\overline {ZP} \tilde = \overline {ZP'}</math>
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| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
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| 2) <math>\overline {ZQ} \tilde = \overline {ZQ'}</math>
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| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
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| 3) <math>\angle {PZP'} \tilde = \angle {QZQ'}</math>
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| 4) <math>|\alpha'|=|\beta'|+|\alpha - \beta|</math><br />
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| rechnen in den reellen Zahlen, folgt aus Schritt 3, da <math>\beta = \angle {PZP'} </math> und <math> \beta' = \angle {QZQ'}</math>
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| 5) <math>\triangle {ZPQ} \tilde = \triangle {ZP'Q'}</math>
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| folgt aus den Schritten 1-4, sws
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| 6) <math>\overline {PQ} \tilde = \overline {P'Q'}</math>
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| folgt aus Schritt 5
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| 7) <math>|PQ|=|P'Q'|</math>
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| folgt aus Schritt 6, q.e.d
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--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 14:22, 9. Nov. 2010 (UTC)
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==Satz: Wenn eine Bewegung <math>\phi</math> genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist <math>\phi</math> eine Drehung um den Fixpunkt Z.==
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==Beweis==
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Voraussetzung: <math>\phi </math> ist eine Bewegung, <math>\phi </math> hat genau eine Fixpunkt Z<br />
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Behauptung: <math>\beta \cong \beta'</math>
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{| class="wikitable "
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! Beweisschritt
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! Begründung
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| 1. <math>P \ne P', Q \ne Q'</math>
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| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
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| 2. <math>\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}</math>
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| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
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| 3. <math>\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}</math>
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| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
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|-
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| 4. <math>\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}</math>
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| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
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| 5. <math>\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}</math>
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| sss, folgt aus den Schritten 2-4
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|-
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| 6. <math>\alpha \cong \alpha'</math><br /> <math>|\alpha|= |\alpha'|</math>
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| folgt aus Schritt 5
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|-
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| 7.<math>|\beta'|=|\alpha'|+|\beta|-|\alpha|</math><br /> <math>|\beta'|=|\beta|</math><br /> <math> \beta' \cong \beta</math>
 +
| rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6
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|}<br />--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 15:13, 11. Nov. 2010 (UTC)

Aktuelle Version vom 17. Juli 2013, 18:19 Uhr

  • Weinberge und ihre Parallelität.JPG
  • Geometrie Kugel Andreas.JPG

Spiegelung_Test
Prinzip des Cavalieri und Volumen Kugel

Inhaltsverzeichnis

Satz: Jede Drehung D_{Z,\beta} ist eine Bewegung.


Beweis

Voraussetzung: Drehung D um Punkt Z mit dem Winkel \beta
Behauptung: |PQ|=|P'Q'|

Beweisschritt Begründung
1) \overline {ZP} \tilde = \overline {ZP'} folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
2) \overline {ZQ} \tilde = \overline {ZQ'} folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
3) \angle {PZP'} \tilde = \angle {QZQ'} folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
4) |\alpha'|=|\beta'|+|\alpha - \beta|

|\alpha'|= |\alpha|

 rechnen in den reellen Zahlen, folgt aus Schritt 3, da \beta = \angle {PZP'} und \beta' = \angle {QZQ'}
5) \triangle {ZPQ} \tilde = \triangle {ZP'Q'} folgt aus den Schritten 1-4, sws
6) \overline {PQ} \tilde = \overline {P'Q'} folgt aus Schritt 5
7) |PQ|=|P'Q'| folgt aus Schritt 6, q.e.d

--Andreas 14:22, 9. Nov. 2010 (UTC)

Satz: Wenn eine Bewegung \phi genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist \phi eine Drehung um den Fixpunkt Z.

Beweis

Voraussetzung: \phi ist eine Bewegung, \phi hat genau eine Fixpunkt Z
Behauptung: \beta \cong \beta'

Beweisschritt Begründung
1. P \ne P', Q \ne Q' folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
2. \overline {ZP} \cong \overline {ZP'} folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
3. \overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'} folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
4. \overline {PQ} \cong \overline {P'Q'} folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
5. \triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'} sss, folgt aus den Schritten 2-4
6. \alpha \cong \alpha'
|\alpha|= |\alpha'| 		folgt aus Schritt 5
7.|\beta'|=|\alpha'|+|\beta|-|\alpha|
|\beta'|=|\beta|
\beta' \cong \beta 		rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6

--Andreas 15:13, 11. Nov. 2010 (UTC)
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