Lösung von Aufgabe 5.4 P (SoSe 13): Unterschied zwischen den Versionen

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Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A  \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br />
 
Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A  \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br />
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br />
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'''a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.'''<br />
  
Zwei Punkte stehen genau dann in R, wenn die Strecke AB die Gerade g nicht schneidet.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:11, 24. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 24. Mai 16:11
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Zwei Punkte stehen genau dann in R, wenn die Strecke AB die Gerade g nicht schneidet.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:11, 24. Mai 2013
 
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*Wie könnte man das auch noch veranschaulicht verstehen und beschreiben?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:49, 26. Mai 2013 (CEST)
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br />
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** Ich verstehe nicht, was du mit veranschaulichen meinst? Soll ich ein Bild Hochladen? --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 18:40, 27. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 27. Mai 18:40
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br />
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***Sorry, das war verwirrend. Also deine verbale Beschreibung ist korrekt. Veranschaulichen heißt ein Bild hochladen - richtig.Wäre schön, wenn das jemand macht.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:05, 29. Mai 2013 (CEST)
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b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.'''<br />
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'''Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen'''.<br />
  
 
* reflexiv, weil für alle A Element der Ebene E ohne der Gerade g gilt: A steht in Relation zu A
 
* reflexiv, weil für alle A Element der Ebene E ohne der Gerade g gilt: A steht in Relation zu A
 
* symmetrisch, weil für alle ( A, B, C) Element Relation gilt: Strecke AB vereinigt mit der Geraden g = leere Menge --> Strecke BA vereinigt mit g = leere Menge , da Strecke AB = Strecke BA.
 
* symmetrisch, weil für alle ( A, B, C) Element Relation gilt: Strecke AB vereinigt mit der Geraden g = leere Menge --> Strecke BA vereinigt mit g = leere Menge , da Strecke AB = Strecke BA.
 
* transitiv, weil für alle ( A,B,C) Element der Ebene E ohne g gilt: Strecke AB vereinigt mit g = leere Menge und Strecke BC vereinigt mit g = leere Menge --> Strecke AC vereinigt mit g= l. Menge.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:09, 24. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 24. Mai 16:09
 
* transitiv, weil für alle ( A,B,C) Element der Ebene E ohne g gilt: Strecke AB vereinigt mit g = leere Menge und Strecke BC vereinigt mit g = leere Menge --> Strecke AC vereinigt mit g= l. Menge.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:09, 24. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 24. Mai 16:09
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**Blumenkind hat die Eigenschaften jetzt allgemein erklärt. Aber warum gelten sie gerade für diese Relation? Man beziehe sich dabei auf die geometrische Beschreibung aus Aufgabe a).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:49, 26. Mai 2013 (CEST)
  
 
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Wegen dem "genau dann wenn" Pfeil?--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 19:27, 9. Jul. 2013 (CEST)
 
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*Nein, der Pfeil ist nur das Symbol für die Definition: man ließt das dann so: A steht in Relation zu B, wenn gilt ...--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:39, 10. Jul. 2013 (CEST)
 
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Aktuelle Version vom 10. Juli 2013, 14:39 Uhr

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation \ \Theta (\ \Theta ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge \ E \setminus g (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige \ A,B \in E \setminus g gilt: \ A  \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace.
a) Beschreiben Sie die Relation \ \Theta verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.

Zwei Punkte stehen genau dann in R, wenn die Strecke AB die Gerade g nicht schneidet.--Blumenkind 16:11, 24. Mai 2013

  • Wie könnte man das auch noch veranschaulicht verstehen und beschreiben?--Tutorin Anne 16:49, 26. Mai 2013 (CEST)
    • Ich verstehe nicht, was du mit veranschaulichen meinst? Soll ich ein Bild Hochladen? --Blumenkind 18:40, 27. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 27. Mai 18:40
      • Sorry, das war verwirrend. Also deine verbale Beschreibung ist korrekt. Veranschaulichen heißt ein Bild hochladen - richtig.Wäre schön, wenn das jemand macht.--Tutorin Anne 13:05, 29. Mai 2013 (CEST)

b) Begründen Sie anschaulich, dass \ \Theta eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation \ \Theta bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

  • reflexiv, weil für alle A Element der Ebene E ohne der Gerade g gilt: A steht in Relation zu A
  • symmetrisch, weil für alle ( A, B, C) Element Relation gilt: Strecke AB vereinigt mit der Geraden g = leere Menge --> Strecke BA vereinigt mit g = leere Menge , da Strecke AB = Strecke BA.
  • transitiv, weil für alle ( A,B,C) Element der Ebene E ohne g gilt: Strecke AB vereinigt mit g = leere Menge und Strecke BC vereinigt mit g = leere Menge --> Strecke AC vereinigt mit g= l. Menge.--Blumenkind 16:09, 24. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 24. Mai 16:09
    • Blumenkind hat die Eigenschaften jetzt allgemein erklärt. Aber warum gelten sie gerade für diese Relation? Man beziehe sich dabei auf die geometrische Beschreibung aus Aufgabe a).--Tutorin Anne 16:49, 26. Mai 2013 (CEST)

Wegen dem "genau dann wenn" Pfeil?--Wüstenfuchs 19:27, 9. Jul. 2013 (CEST)

  • Nein, der Pfeil ist nur das Symbol für die Definition: man ließt das dann so: A steht in Relation zu B, wenn gilt ...--Tutorin Anne 15:39, 10. Jul. 2013 (CEST)